İngiliz bayrağı teoremi

Öklid geometrisinde, İngiliz bayrağı teoremi, ${\displaystyle ABCD}$ dikdörtgeni içinde bir ${\displaystyle P}$ noktası seçilirse, ${\displaystyle P}$'den dikdörtgenin iki karşıt köşesine olan Öklid mesafelerinin karelerinin toplamının, diğer iki karşıt köşenin toplamına eşit olduğunu söyler.^[1][2][3] Denklem olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,}$

Teorem ayrıca dikdörtgenin dışındaki noktalar için ve daha genel olarak Öklid uzayındaki bir noktadan uzaya gömülü bir dikdörtgenin köşelerine kadar olan mesafeler için de geçerlidir.^[4] Daha genel olarak, bir ${\displaystyle P}$ noktasından paralelkenarın iki karşıt köşesine kadar olan uzaklıkların karelerinin toplamı karşılaştırılırsa, iki toplam genel olarak eşit olmayacak, ancak iki toplamın farkı ${\displaystyle P}$ noktasının seçimine değil yalnızca paralelkenarın şekline bağlı olacaktır.^[5]

Teorem, Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilir. ${\displaystyle P}$ noktasını dikdörtgenin dört köşesinden herhangi birine yerleştirmek, dikdörtgenin köşegeninin karesini, Pisagor teoremi olan dikdörtgenin genişliğinin ve uzunluğunun karelerinin toplamına eşit olarak verir.

Şekilde gösterildiği gibi, ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CD}$ ve ${\displaystyle AD}$ kenarlarıyla sırasıyla ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ve ${\displaystyle Z}$ noktalarında birleşen dik çizgileri ${\displaystyle P}$ noktasından dikdörtgenin kenarlarına çizin; bu dört nokta ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ ve ${\displaystyle Z}$, bir ortodiyagonal dörtgen köşelerini oluşturur. Pisagor teoremini ${\displaystyle \triangle AWP}$ dik üçgenine uygulayarak ve ${\displaystyle WP=AZ}$ olduğunu göz önünde bulundurarak,

• ${\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$

bulunur ve benzer bir argüman ile ${\displaystyle P}$'den diğer üç köşeye olan mesafelerin uzunluklarının kareleri şu şekilde hesaplanabilir:

• ${\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2}}$,
• ${\displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2}}$ve
• ${\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}}$.

Bu nedenle:

${\displaystyle {\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}}$

Bu teorem ismini, ${\displaystyle P}$'den dikdörtgenin köşelerine doğru olan doğru parçaları çizildiğinde, ispatta kullanılan dikey çizgilerle birlikte, tamamlanan şeklin bir şekilde Birleşik Krallık Bayrağına benzemesinden alır.

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: İngiliz bayrağı teoreminin ilginç bir uygulaması 12 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. . Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Cilt 4 (2015), sayı 1, s. 31-34.
• Martin Gardner, Dana Richards (ed.): Kısa Bulmacalar ve Sorunlar Devasa Kitabı. WW Norton, 2006,978-0-393-06114-7, s. 147, 159 (problem 6.16)
• Carl Joshua Quines, (December 4, 2018), Obscure geometry theorems, Makale 2 Mart 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Ananth Shyamal, Divya Shyamal, Kevin Yang ve Reece Yang, (2020), Iowa City Math Circle Handouts- Quadrilaterals, s. 7, Makale 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

• Geogebra - British flag theorem 26 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Artofproblemsolving.com'da İngiliz Bayrak Teoremi 23 Aralık 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The British Flag Theorem and Viviani’s Theorem^[]
• Microsoft'un Dikdörtgen Köşeler Mülakat Sorusunu Çözebilir misiniz? 17 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (video, 5:41 dk.)
• Genius Tutorials - BRITISH FLAG THEOREM (video, 4:47 dk)