İkili işlem

Eğer ${\displaystyle X}$ bir kümeyse, ${\displaystyle X\times X}$ kümesinden ${\displaystyle X}$ kümesine giden bir fonksiyona ${\displaystyle X}$ kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi ${\displaystyle f:X\times X\longrightarrow X}$ olarak gösterirsek, ${\displaystyle f(x,y)}$ yerine genellikle ${\displaystyle x+y}$, ${\displaystyle x\times y}$, ${\displaystyle x\star y}$ ya da daha yaygın olarak ${\displaystyle xy}$ yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her ${\displaystyle x,y\in X}$ için, işlemin sonucu olan ${\displaystyle x\star y}$ elemanının yine ${\displaystyle X}$ kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, ${\displaystyle X=N}$ (doğal sayılar kümesi) ise, ${\displaystyle x-y}$ işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir. Örneğin, ${\displaystyle 5-7=-2}$ bir doğal sayı değildir. Öte yandan ${\displaystyle x\star y=3+xy+x+y}$ olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.

İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.

${\displaystyle x+y}$ yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her ${\displaystyle x,\,y}$ için ${\displaystyle x\star y=y\star x}$ olduğunda kullanılır.

İşlemlerde genellikle her ${\displaystyle x,\,y,\,z}$ elemanı için ${\displaystyle (x\star y)\star z=x\star (y\star z)}$ eşitliği aranır, örneğin ${\displaystyle x^{3}}$ elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için ${\displaystyle x\star (x\star x)=(x\star x)\star x}$ eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.

Eğer her ${\displaystyle x\in X}$ için ex = x eşitliğini sağlayan bir ${\displaystyle e\in X}$ elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse ${\displaystyle e=ef=f}$ olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin ${\displaystyle x\star y=y}$ olarak tanımlanan işlemde her ${\displaystyle x\in X}$ soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.

Eğer her ${\displaystyle x\in X}$ için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman ${\displaystyle a=ab=b}$ olur.

Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X, X), X kümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer ${\displaystyle f,\,g\in }$ Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden X kümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her ${\displaystyle x\in X}$ için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı Id${\displaystyle _{X}}$ olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.

• İşlem
• Öbek
• Grup (matematik)
• Halka
• Cisim
• Soyut cebir