İçeriğe atla

İki cisim problemi

Aynı kütleye sahip iki cismin ortak bir merkez etrafındaki eliptik hareketleri.

Klasik mekanikte iki cisim problemi sadece birbirleriyle etkileşen iki nokta parçacığın hareketini tanımlamak için kullanılır. Bir gezegen ve yörüngesinde dolanan bir uydu, bir yıldız ve yörüngesindeki bir gezegen, birbirlerinin yörüngelerinde dolanan iki yıldız (çift yıldız) ve klasik atom modelinde çekirdeğin etrafında dolanan elektron, yaygın örneklerdir.

İki-cisim problemi, bir dış potansiyelde bulunan tek cismin hareketinin çözümü ile, iki bağımsız bir-cisim problemi olarak yeniden formülize edilebilir. Çoğu bir-cisim problemi kesin olarak çözümlenebildiğinden, iki tane bir-cisim problemi haline indirgenebilen iki-cisim problemi de tam olarak çözümlenebilir. Bunun aksine üç-cisim problemi (ya da daha genel olarak, n>3 için n-cisim problemi) bazı özel durumlar dışında tam olarak çözümlenemez.

Kütleleri biribinden çok az farklı olan iki cismin bir merkez etrafında dönmesi. Şekildeki sistem kütle ve boyut olarak Plüton-Charon sistemine benzerdir.

İki-cisim probleminin iki bağımsız bir-cisim problemine indirgenmesi

x1, x2 iki cismin konumları ve m1, m2 de kütleleri olsun. Burada amaç tüm t zaman değerleri için cisimlerin konunmlarını veren x1(t) and x2(t) fonksiyonlarını başlangıç konumları x1(t=0) and x2(t=0) ve başlangıç hızları v1(t=0) and v2(t=0) olacak şekilde hesaplamaktır.

Newton'un ikinci yasası bu iki kütleye uygulandığında

burada

birinci kütleye ikinci kütle ile etkileşmeden dolayı uygulanan kuvvettir ve
ikinci kütleye birinci kütle ile etkileşmeden dolayı uygulanan kuvvettir.

Bu iki denklemi birbirine ekleyip çıkartarak iki tane bağımsız olarak çözümlenebilen diferansiyel denklem elde etmek mümkündür. (1) ve (2) denklemlerini birbirine ekleyerek elde edeceğimiz diferansiyel denklemi çözerek sistemin kütle merkezinin hareketini betimleyen fonksiyonu, (2) denklemini (1) denkleminden çıkararak elde edeceğimiz diferansiyel denklemi çözerek te kütleler arasındaki r = x1 - x2 vektörünün zamanla nasıl değiştiğini veren fonksiyonu elde edebiliriz. Bulduğumuz bu iki çözümü kullanarak cisimlerin konumlarının zamanla değişimini ifade eden x1(t) ve x2(t) yörünge fonksiyonlarını bulabiliriz.

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Maxwell denklemleri</span>

Maxwell denklemleri Lorentz kuvveti yasası ile birlikte klasik elektrodinamik, klasik optik ve elektrik devrelerine kaynak oluşturan bir dizi kısmi türevli (diferansiyel) denklemlerden oluşur. Bu alanlar modern elektrik ve haberleşme teknolojilerinin temelini oluşturmaktadır. Maxwell denklemleri elektrik ve manyetik alanların birbirileri, yükler ve akımlar tarafından nasıl değiştirildiği ve üretildiğini açıklamaktadır. Bu denklemler sonra İskoç fizikçi ve matematikçi olan ve 1861-1862 yıllarında bu denklemlerin ilk biçimini yayımlayan James Clerk Maxwell' in ismi ile adlandırılmıştır.

Klasik mekanikte momentum ya da devinirlik, bir nesnenin kütlesi ve hızının çarpımıdır; (p = mv). Hız gibi, momentum da vektörel bir niceliktir, yani büyüklüğünün yanı sıra bir yöne de sahiptir. Momentum korunumlu bir niceliktir ; yani bu, eğer kapalı bir sistem herhangi bir dış kuvvetin etkisi altında değilse, o kapalı sistemin toplam momentumunun değişemeyeceği anlamına gelir. Momentum benzer bir konu olan açısal momentum ile karışmasın diye, bazen çizgisel momentum olarak da anılır.

<span class="mw-page-title-main">Yörünge</span> bir gökcisminin bir diğerinin kütleçekimi etkisi altında izlediği yola yörünge adı verilir

Gök mekaniğinde yörünge veya yörünge hareketi, bir gezegenin yıldız etrafındaki veya bir doğal uydunun gezegen etrafındaki veya bir gezegen, doğal uydu, asteroit veya lagrange noktası gibi uzaydaki bir nesne veya konum etrafındaki yapay uydunun izlediği kavisli bir yoldur. Yörünge, düzenli olarak tekrar eden bir yolu tanımlamakla birlikte, tekrar etmeyen bir yolu da ifade edebilir. Gezegenler ve uydular Kepler'in gezegensel hareket yasalarında tanımlandığı gibi, kütle merkezi elips biçiminde izledikleri yolun odak noktasında olacak şekilde yaklaşık olarak eliptik yörüngeleri takip ederler.

<span class="mw-page-title-main">Newton'un hareket yasaları</span> Bilimsel Yasalar

Newton'un hareket yasaları, bir cisim üzerine etki eden kuvvetler ve cismin yaptığı hareket arasındaki ilişkileri ortaya koyan üç yasadır. İlk kez Isaac Newton tarafından 5 Temmuz 1687 tarihinde yayımlanan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica adlı çalışmada ortaya konmuştur. Bu yasalar klasik mekaniğin temelini oluşturmuş, bizzat Newton tarafından fiziksel nesnelerin hareketleri ile ilgili birçok olayın açıklanmasında kullanılmıştır. Newton, çalışmasının üçüncü bölümünde, bu hareket yasalarını ve yine kendi bulduğu evrensel kütleçekim yasasını kullanarak Kepler'in gezegensel hareket yasalarının elde edilebileceğini göstermiştir.

1. Yasa
Eylemsiz referans sistemi adı verilen öyle referans sistemleri seçebiliriz ki, bu sistemde bulunan bir parçacık üzerine bir net kuvvet etki etmiyorsa cismin hızında herhangi bir değişiklik olmaz. Bu yasa genellikle şu şekilde basitleştirilir: “Bir cisim üzerine dengelenmemiş bir dış kuvvet etki etmedikçe, cisim hareket durumunu korur.”
2. Yasa
Eylemsiz bir referans sisteminde, bir parçacık üzerindeki net kuvvet onun çizgisel momentumunun zaman ile değişimi ile orantılıdır:
<span class="mw-page-title-main">Adi diferansiyel denklem</span>

Matematikte adi diferansiyel denklem, tek değişkenli fonksiyonların türevlerini ilişkilendiren diferansiyel denklem çeşididir. Adi diferansiyel denklemler adı daha yaygındır. Kapalı olarak şeklinde gösterilirler. Bu ifadede denklemin derecesini gosterir.

<span class="mw-page-title-main">Akışkanlar dinamiği</span> hareket halindeki akışkanların (sıvılar ve gazlar) doğal bilimi

Fizik, fiziksel kimya ve mühendislikte akışkanlar dinamiği, akışkanların akışını tanımlayan akışkanlar mekaniğinin bir alt disiplinidir. Aerodinamik ve hidrodinamik dahil olmak üzere çeşitli alt disiplinleri vardır. Akışkanlar dinamiğinin, uçaklardaki kuvvetlerin ve momentlerin hesaplanması, boru hatları boyunca petrolün Kütle akış hızının belirlenmesi, hava durumu modellerinin tahmin edilmesi, uzaydaki bulutsuların anlaşılması ve fisyon silahı patlamasının modellenmesi dahil olmak üzere geniş bir uygulama yelpazesi vardır.

<span class="mw-page-title-main">İş (fizik)</span>

Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.

<span class="mw-page-title-main">Katı cisim dinamiği</span>

Katı-cisim dinamiği, dış kaynaklı kuvvetler karşısında hareket eden birbiri ile ilişkili sistemlerin analizini inceler. Her bir gövde için, cisimlerin katı olduğu ve bu nedenle uygulanan kuvvetler nedeni ile deforme olmadıkları, sistemi tanımlayan taşıma ve dönme parametrelerinin sayısını azaltarak analizi basitleştirmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Kütle merkezi</span>

Fizikte, uzaydaki ağırlığın dağılımının ağırlık merkezi, birbirlerine göre olan ağırlıkların toplamlarının sıfır olduğu noktadır. Ağırlık dağılımı, ağırlık merkezi etrafında dengelenir ve dağılan ağırlığın kütle pozisyon koordinatlarının ortalaması onun koordinatlarını tanımlar. Ağırlık merkezine göre formüle edildiği zaman mekanikte hesaplamalar basitleşir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

<span class="mw-page-title-main">Kepler'in gezegensel hareket yasaları</span>

Kepler'in gezegensel hareket yasaları, Güneş Sisteminde bulunan gezegenlerin hareketlerini açıklayan üç matematiksel yasadır. Alman matematikçi ve astronom Johannes Kepler (1572-1630) tarafından keşfedilmişlerdir.

<span class="mw-page-title-main">Hareket (fizik)</span>

Hareket ya da devinim, bir cismin sabit bir noktaya göre yerinin zamana karşı değişimidir. Hareketle ilgilenen bilim sahaları, mekanik ve kinematik olarak sınıflandırılabilir. İlkinde kuvvet ve kütle üzerindeki etkisi incelenirken, ikincisinde, kütlenin konumu, hızı gibi nitelikler incelenir.

Fizik ve mühendislikte, kütle akış hızı, bir maddenin geçtiği belirli bir yüzeyden birim zamana geçen kütle miktarıdır. SI'daki birimi, kilogram bölü saniyedir. Yaygın kullanılan sembolü olmasına rağmen bazen μ kullanılır.

Matematiksel fizikte, hareket denklemleri, fiziksel sistemin hareket sürecindeki davranışını, zamanın bir fonksiyonu olarak tanımlar. Daha detaya girmek gerekirse; hareket denklemleri, fiziksel sistemin davranışını devinimsel değişkenler üzerinde tanımlanmış bir matematiksel fonksiyon takımı olarak izah eder. Bu değişkenler genellikle uzay koordinatları ve zamandan ibarettir, ama gerektiğinde momentum bileşenleri de kullanılır. En yaygın değişken seçeneği, fiziksel sistemin özelliklerini uygun şekilde tanımlayan değişkenlerden oluşan genelleştirilmiş koordinatlardır. Klasik mekanikte bu fonksiyonlar öklid uzayında tanımlanmıştır ama görelilikte eğilmiş uzay üzerindeki fonksiyon daha uygundur. Eğer sistemin dinamikleri biliniyor ise, bu fonksiyonları tanımlayan denklemler dinamiğin hareketini izah eden diferansiyel denklemlerin çözümleri olacaktır.

<span class="mw-page-title-main">Kepler yörüngesi</span> üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklayan kavram

Gök mekaniği olarak, Kepler yörüngesi üç boyutlu uzayda iki boyutlu bir yörünge düzlemi oluşturan bir elips, parabol, hiperbol benzeri bir yörünge cismininin hareketini açıklar.. Kepler yörüngesi yalnızca nokta iki cismin nokta benzeri yerçekimsel çekimlerini dikkate alır, atmosfer sürüklemesi, güneş radyasyonu baskısı, dairesel olmayan cisim merkezi ve bunun gibi bir takım şeylerin diğer cisimlerle girdiği çekim ilişkileri nedeniyle ihmal eder. Böylece Kepler problemi olarak bilinen iki-cisim probleminin, özel durumlara bir çözüm olarak atfedilir. Klasik mekaniğin bir teorisi olarak, aynı zamanda genel görelilik etkilerini dikkate almaz. Kepler yörüngeleri çeşitli şekillerde altı yörünge unsurları içine parametrize edilebilir.

<span class="mw-page-title-main">Sürekli ortamlar mekaniği</span>

Sürekli ortamlar mekaniği, ayrı parçacıklar yerine tam bir kütle olarak modellenen maddelerin mekanik davranışları ve kinematiğin analizi ile ilgilenen mekaniğin bir dalıdır. Fransız matematikçi Augustin-Louis Cauchy, 19. yüzyılda bu modelleri formüle dökmüştür, fakat bu alandaki araştırmalar günümüzde devam etmektedir. 

<span class="mw-page-title-main">Lagrange mekaniği</span> Klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesi

Lagrange mekaniği, klasik mekaniğin yeniden formüle edilmesidir. İtalyan-Fransız matematikçi ve astronom Joseph-Louis Lagrange tarafından 1788’de geliştirilmiştir.

<span class="mw-page-title-main">Yörünge mekaniği</span>

Yörünge mekaniği veya astrodinamik, roketler ve diğer uzay araçlarının hareketini ilgilendiren pratik problemlere, balistik ve gök mekaniğinin uygulamasıdır. Bu nesnelerin hareketi genellikle Newton'un hareket kanunları ve Newton'un evrensel çekim yasası ile hesaplanır. Bu, uzay görevi tasarımı ve denetimi altında olan bir çekirdek disiplindir. Gök mekaniği; daha genel olarak yıldız sistemleri, gezegenler, uydular ve kuyruklu yıldızlar gibi kütle çekimi etkisinde bulunan yörünge sistemleri için geçerlidir. Yörünge mekaniği; uzay araçlarının yörüngelerine ait yörünge manevraları, yörünge düzlemi değişiklikleri ve gezegenler arası transferler gibi kavramlara odaklanır ve itici manevralar sonuçlarını tahmin etmek için görev planlamacıları tarafından kullanılır. Genel görelilik teorisi, yörüngeleri hesaplamak için Newton yasalarından daha kesin bir teoridir ve doğru hesaplar yapmak ya da yüksek yerçekimini ihtiva eden durumlar söz konusu olduğunda bazen gereklidir.

Verlet entegrasyonu, Newton'un hareket denklemlerini uygulamak için kullanılan nümerik yöntemlerden biridir. Genellikle Moleküler dinamik simülasyonlarında parçacıkların bir sonraki zaman dilimindeki konumlarını belirlemek için kullanılır. Hız hesaplaması yerine sadece o anki konum, önceki konum ve o anki ivmeyi kullanan bu yöntem Euler yönteminden daha isabetlidir ve gerektirdiği işlem sayısı pek farklı değildir. İlk defa 1791 yılında Delambre tarafından kullanılmıştır ve o zamandan beri çok kez yeniden keşfedilmiştir: 1909'da Cowell and Crommelin tarafından Halley kuyruklu yıldızı'nın yörüngesini hesaplamak için veya 1907'de Carl Størmer tarafından manyetik alandaki elektrik yüklü parçacıkların yörüngesini incelemek için kullanılması gibi. Daha sonra 1960'larda Loup Verlet tarafından moleküler dinamikte kullanıldı.

<span class="mw-page-title-main">Yörünge durum vektörleri</span>

Yörünge durum vektörleri veya durum vektörleri, gök mekaniği ve yörünge mekaniğinde, konum ve hız kartezyen vektörlerin zaman (devir) ile birlikte uzaydaki yörüngede bulunan bir cismin benzersiz şekildeki gidim izinin belirlenmesidir.