İçeriğe atla

Üs

Üslü sayıların gösterimi, taban ve kuvvet (üs).

Üs, bazen kuvvet, b taban, n üs veya kuvvet olmak üzere, bn olarak gösterilen ve "b üssü n", "b üzeri n" veya "b'nin n'inci kuvveti" olarak telaffuz edilen matematiksel işlem.[1][2] Eğer n pozitif bir tam sayıysa, tabanın tekrarlanan çarpımına karşılık gelir:

Buna karşılık, sadece n pozitif bir tam sayı ise geçerlidir, çünkü bir şey -2 tane ya da tane vardır diyemeyiz. Üs yani n sayısının pozitif olmadığı durumlar aşağıda listelenmiştir.[2]

İşlem

Kuvvet pozitif ise

23 işlemini ele alırsak, "2 üzeri 3" olarak okunan bu işlemin açılımı, olacaktır. Bu 3 tane 2'nin çarpımının sonucudur.[3]

işleminin açılımı ise, olacaktır. Bu ise 4 tane 3'ün çarpımının sonucudur.

Kuvvet negatif ise

Bu durumda, üssün pozitif değeri alınır ve 1, taban üssü kuvvete bölünür:[4]

olur.

Kuvvet rasyonel bir sayı ise

örneğinde olduğu gibi, üs bir rasyonel sayı ise, bu, olarak, bir köklü sayı oluşturur. Bu konu için köklü sayılar incelenebilinir.

Özellikler ve kurallar

  • 1'in bütün kuvvetleri 1'dir.
  • 0 dışındaki tüm sayıların 0. kuvveti: 1'dir.
  • 0'ın 0 hariç bütün kuvvetleri 0'dır.
  •  Bir sayının 1. kuvveti, sayının kendisidir:
  • Taban ve üs 0 ise o işlem belirsizdir.
    (belirsiz)
  • Pozitif sayıların bütün kuvvetleri daima pozitif bir sayı verir.
  • Negatif sayılar parantez içinde ve kuvvetleri çift sayı ise sonuç pozitif olur, kuvvetleri tek sayı ise sonuç negatif olur:
    (Kuvvet çift, taban parantezde.)
    (Kuvvet çift, taban parantezde değil.)
    (Kuvvet tek, daima negatif sonuç verir)
  • Tabanları aynı iki üslü sayının çarpımı, taban üzeri kuvvetlerin toplamıdır:[5]
  • Tabanları aynı iki üslü sayının bölümü taban üzeri kuvvetlerin farkıdır:[4]

    Çarpmadan (üsler toplamından) farklı olarak,
  • Üslü bir sayının üssü alınırken, içteki kuvvet ile dıştaki kuvvet çarpılır:[4]
  • Üsler ortak parantezde dağılma özelliğine sahiptir:[4]
  • Üstler ve tabanlar aynı olacak şekilde,
  •   ve hariç, a ve b rasyonel sayı olmak üzere, , başka bir değiş ile üs ile taban yer değiştirilirse sayının değeri de değişir.
  •   (a ve b rasyonel sayı ise)
  • a ve b 0'dan farklı tam sayılar olmak üzere,[5]

Örnekler

  • (Bu soru ortaokul seviyesindedir.)

Çözüm:

  • sayısının yarısı kaçtır? (Bu soru ortaokul - lise seviyelerindedir.)

Çözüm:

  • ve ise (Bu soru lise seviyesindedir.)

Çözüm:


Sıralama

Üslü sayılarda sıralama yaparken ya tabanların ya da üslerin eşitlenmesi gerekir. Ondan sonra sıralama işlemi yapılır.

Örnekler

  • sayılarının küçükten büyüğe sırası nedir?

Çözüm:
3, 9 ve 27 sayıları 3'ün katı olduğu için, tabanlar 3 yapılabilir:


ve olur.
Küçükten büyüğe tabanlar aynı olduğu için, kuvvetlere bakarak sıralama yapılır:

  • sayılarının küçükten büyüğe sırası nedir?

Çözüm:
Üsler 18'de eşitlenebilir.


ve
Kuvvetlerin aynı olmasından ötürü, sıralama tabanlara göre yapılabilir:

Basamak sayısı

Üslü sayıların basamak sayısını hesaplamak kolay değildir. Örneğin sayısının basamak sayısını, bakarak bulamayız. 195 tane 2'nin çarpımını bulup, kaç basamaklı olduğu hesaplanabilir. Bu yüzden genelde tabanı 10 olan üslü sayıların basamak sayısını bulmaya yönelmek gerekir, örneğin:[6]

(1'in yanında 3 sıfır)

(1'in yanında 5 sıfır)

10'un n tane çarpımında, 1 yanına n adet sıfır gelecek şekilde düşünülerek, çıkan sayının kaç basamaklı olduğu bulunur, o halde:

1'in yanında 7 sıfır 8 basamaklı bir sayı.

1'in yanında 20 sıfır 21 basamaklı bir sayı.

Örnekler

  • kaç basamaklıdır?

Çözüm:
125 (3 basamak) sayısının yanına 50 sıfır gelecek, o halde, 53 basamaklı bir sayıdır.

  • 252.82.3 işleminin sonucu kaç basamaklıdır?

Çözüm:
(52)2.(23)2.3
= 54.26.3
= 54.24.22.3
= 104.4.3 = 104.12 => 6 basamaklıdır.

Bilimsel gösterim

Çok büyük ya da çok küçük sayıların gösteriminde, hem gereken detayda sayının değerini, hem basamak sayısını veren hem de bunu daha okunabilir kolay bir şekilde yapan sayılsal gösterime bilimsel gösterim denir.[3]

Gösterim

ve n bir tam sayı olmak üzere, bilimsel gösterim; olarak yazılır.

Özellikler ve Kurallar

  • a sayısının 1 ile 10 arasında olması şarttır.
  • Sayıda ',' yok ise, en sağdaki rakamın sonunda virgül varmış gibi düşünülmelidir.
  • ifadesi yok ise, bu, sayının yanında olduğu anlamına gelir. Örneğin:
  • Virgül sağa kaydıkça sayı büyür, 10'nun kuvveti de kayılan basamak sayısı kadar küçülür. Örneğin:
  • Virgül sola kaydıkça sayı küçülür, 10'nun kuvveti de kayılan basamak sayısı kadar büyütülür. Örneğin:

Örnekler

  • Işık saniyede 300000 km yol almaktadır. Buna göre ışığın 1 dakikada kaç km yol gittiğinin bilimsel gösterimi nedir?

Çözüm:

  • eşitliğini sağlayan x sayısının bilimsel gösterimi nedir?

Çözüm:



Reel üsler

Pozitif reel sayıların reel kuvvetleriyle üs alma, ya rasyonel kuvvetlerin süreklilikle reellere genişletilmesiyle ya da genelde olduğu gibi logaritma aracılığıyla üstel olarak ifade edilmesiyle tanımlanabilir. Sonuç her zaman pozitif bir reel sayıdır. Üsleri tam sayı olmayan pozitif reel tabanlar söz konusu olduğunda da, yukarıda pozitif tam sayı tabanlar için belirtilmiş özellikler ve kurallar aynı şekilde geçerlidir.

Öte yandan, negatif bir reel sayının reel kuvvetinin, reel olmayabileceğinden ve birden fazla değere sahip olabileceğinden dolayı, tutarlı bir şekilde tanımlanması çok daha zordur. Bu değerlerden biri, esas değer olarak seçilebilir, fakat aşağıdaki gibi özdeşlikler esas değerler için geçerli olmayabilir:

Bu nedenle, tabanı pozitif reel sayı olmayan bir üs alma işlemi genellikle çoğul değerli fonksiyonlar kapsamında incelenir.

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault (İngilizce). 1 Mart 2020. 28 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ağustos 2020. 
  2. ^ a b Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. 1 Temmuz 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ağustos 2020. 
  3. ^ a b Gangal, S. K. Gupta & Anubhuti. Composite Mathematics Book - 7 (İngilizce). S. Chand Publishing. ss. 78, 88. ISBN 978-81-219-2742-0. 
  4. ^ a b c d Mathematics for Senior High School Year X (İngilizce). Yudhistira Ghalia Indonesia. ss. 7-9. ISBN 978-979-019-361-1. 15 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. 
  5. ^ a b Yayınları, Eğitimiz (12 Aralık 2014). Temel Matematik: Sınava Hazırlık - Okula Yardımcı. Eğitimiz Yayınları. ss. 24,26. ISBN 978-605-84701-0-1. 
  6. ^ Choudhari. Modern School Mathematics Book - 6 (İngilizce). Orient Blackswan. s. 4. ISBN 978-81-7370-120-7. 8 Şubat 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. 

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Pascal üçgeni</span>

Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal'ın soyadıyla anılsa da Pascal'dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya'da matematikçiler tarafından çalışılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">Rasyonel sayılar</span>

Rasyonel sayılar, iki tam sayı arasındaki oranı temsil eden, bir pay p ve sıfırdan farklı bir payda q olmak üzere, bir bölme işlemi veya kesir formunda ifade edilebilen sayıları tanımlar. Örneğin, rasyonel bir sayı olarak kabul edilir, bu kapsamda her tam sayı da rasyonel sayılar kategorisindedir. Rasyonel sayılar kümesi, çoğunlukla kalın harf biçimindeki Q veya karatahta vurgusu kullanılarak şeklinde ifade edilir.

<span class="mw-page-title-main">Polinom</span> değişkenlerin çarpımlarının toplamı, değişkenlerin gücü ve katsayılar

Matematikte, bir polinom belirli sayıda bağımsız değişken ve sabit sayıdan oluşan bir ifadedir. Polinom kendi içinde toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan sayının üssünü alma işlemlerini kullanır. Örnek olarak tek bilinmeyenli bir polinom olan x2 − 4x + 7, ikinci dereceden oluşan bir polinomdur. Diğer bir örnek olarak, x2 − 4/x + 7x3/2 bir polinom değildir, çünkü polinomlarda terimlerin derecelerinin doğal sayı olma zorunluluğu vardır 2. terimde x′i ele alan bir bölme işlemi x'in derecesini negatif yapmaktadır ve 3. terim doğal sayı olmayan bir derece içermektedir (3/2).

<span class="mw-page-title-main">Logaritma</span> özel tanımlı bir fonksiyon türü

Matematikte logaritma, üstel işlevlerin tersi olan bir matematiksel fonksiyondur. Mesela, 1000'in 10 tabanına göre logaritması 3'tür çünkü 1000, 10'un 3. kuvvetidir,1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Daha genel bir ifadeyle:

e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayı, doğal logaritmanın tabanı. e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz. Yaklaşık değeri şöyledir:

<span class="mw-page-title-main">Trigonometrik fonksiyonlar</span>

Trigonometrik fonksiyonlar, matematikte bir açının işlevi olarak geçen fonksiyonlardır. Geometride üçgenleri incelerken ve periyodik olarak tekrarlanan olayları incelerken sıklıkla kullanılırlar. Genel olarak bir açısı belirli dik üçgenlerde herhangi iki kenarın oranı olarak belirtilirler, ancak birim çemberdeki belirli doğru parçalarının uzunlukları olarak da tanımlanabilirler. Daha çağdaş tanımlarda sonsuz seriler veya belirli bir türevsel denklemin çözümü olarak geçerler.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

<span class="mw-page-title-main">Dizi</span> aynı tip elemanların sıralı listesi (sonlu veya sonsuz)

Dizi, bir sıralı listedir. Bir küme gibi, ögelerden oluşur. Sıralı ögelerin sayısına dizinin uzunluğu denir. Kümenin aksine sıralı ve aynı ögeler dizide farklı konumlarda birkaç kez bulunabilir. Tam olarak bir dizi, tanım kümesi sayılabilen toplam sıralı kümelerden oluşan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Örneğin doğal sayılar gibi. Diziler bu örnekte olduğu gibi sonlu olabilir. Ya da tüm çift pozitif tam sayılar gibi sonsuz olabilir.

<span class="mw-page-title-main">Üstel fonksiyon</span>

Üstel işlev veya üstel fonksiyon, matematikte kullanılan işlevlerden biridir. Genel tanımı ax şeklindedir, burada taban a artı değere sahip bir sabittir ve üst x değişkendir. Çoğunlukla

sembolüyle gösterilir. Kimi kitaplarda ise;
sembolü kullanılır.

İstatistik bilim dalında ağırlıklı ortalama betimsel istatistik alanında, genellikle örneklem, veri dizisini özetlemek için bir merkezsel konum ölçüsüdür. En çok kullanan ağırlıklı ortalama tipi ağırlıklı aritmetik ortalamadır. Burada genel olarak bir örnekle bu kavram açıklanmaktadır. Değişik özel tipli ağırlıklar alan özel ağırlıklı aritmetik ortalamalar bulunmaktadır. Diğer ağırlıklı ortalamalar ağırlıklı geometrik ortalama ve ağırlıklı harmonik ortalamadir. Ağırlıklı ortalama kavramı ile ilişkili teorik açıklamalar son kısımda ele alınacakdır.

Matematik ve istatistik bilim dallarında genelleştirilmiş f-ortalaması merkezsel konum ölçülerinden olan değişik ortalamalar için tek bir genel fonksiyon ve formül bulma ve kullanma çabaları sonucu ortaya çıkarılmıştır. Benzer çabalar biraz değişik diğer bir genelleştirilmiş ortalama formülünü vermiştir. Bu nedenle isim karışıklığını önlemek için f-ortalaması çeşitli diğer isimlerde de anılmaktadır. Bazen yarı-aritmetik ortalama adı kullanılmaktadır. Bu kavramı ve formülü ilk geliştiren Rus matematikçisi A.Kolmogorov adına atfen de bazen Kolmogorov ortalaması olarak isimlendirilmektedir.

<span class="mw-page-title-main">Fourier serisi</span>

Matematikte, Fourier serileri bir periyodik fonksiyonu basit dalgalı fonksiyonların toplamına çevirir.

i sayısı

Sanal birim ya da i sayısı, x2 = -1 eşitliğini sağlayan bir sayıdır. Reel sayılar kümesindeki hiçbir sayının karesi negatif olamayacağı için, bu ikinci dereceden denklemi sağlayan fakat reel sayılar kümesine ait olmayan böyle bir sayı, genellikle i notasyonu ile gösterilir. i sayısı, ℝ ile gösterilen reel sayılar kümesini ℂ ile gösterilen kompleks sayılar kümesine genişleten ve sabit olmayan her bir P(x) polinomu için en az bir kök sağlayan matematiksel bir kavramdır. "Hayali" terimi negatif kareye sahip gerçek sayı olmadığı için kullanılır.

<span class="mw-page-title-main">Tetrasyon</span>

Matematikte, tetrasyon, üslü sayıdan sonra gelen ilk aşırı işlecin tekrarlı üssüdür. Tetrasyonun İngilizce karşılığı olan tetration kelimesi ilk kez matematikçi Reuben Louis Goodstein tarafından, tetra- (dört) ve iteration (tekrar)dan türetilerek kullanılmaya başlandı. Tetrasyon çok büyük sayıların gösterimi için kullanıldı. Fakat birkaç pratik uygulaması vardır. Bu yüzden sadece saf matematik incelenir. Burada aşırı işlecin ilk dört örneğin gösteriliyor. Tekrasyon dördüncüsüdür:

  1. toplama
    Normal bilinen toplama işlemi.
  2. çarpma
    genellikle temel işlemlerden birini ifade eder. Fakat doğal sayılar gibi özel durumlar için kendine n kere eklenen a olabilir.
  3. üs alma
    a nın kendisi ile n kere çarpılması.
  4. tetrasyon
    a 'nın kendisiyle n kere üssünün alınması.
<span class="mw-page-title-main">Öklid uzayı</span> Öklid geometrisinin yüksek boyutlu vektör uzaylarına genelleştirilmesi

Matematikte Öklid uzayı, Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır ve bu kavramlar, çok boyutlu olarak genelleştirilir. “Öklid” terimi bu uzayları, Öklid geometrisi olmayan eğimli uzaydan ve Einstein'nın genel görelilik kuramından ayırt eder. Bu adı Yunan matematikçi Öklid'den dolayı almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Gauss fonksiyonu</span>

Matematikte Gauss fonksiyonu, bir fonksiyon biçimidir ve şöyle ifade edilir:

Sayılar teorisinde Liouville sayıları, rasyonel sayılara sonsuz küçük yakınlıkta irrasyonel sayılardır. Bir Liouville sayısının her komşuluğunda bir rasyonel sayı vardır. Şu şekilde formüle edilebilir:

bir Liouville sayısı olsun. O zaman her sayma sayısı için öyle bir tam sayı ve sayma sayısı vardır ki,

Köklü sayı üssü reel olan herhangi bir sayının kök içine alınarak gösterilmesine denir. Her üslü sayı bir köklü sayıya dönüşebilmektedir ancak bu durum üssü olan sayılarda genellikle kullanılmaz zira herhangi bir sayısının şeklinde yazılması şeklinde yazılmasıyla aynı anlama gelmektedir.

Basamak veya hane, matematikte bir sayıyı oluşturan rakamlardan her birinin o sayı içerisindeki konumunu ifade eder.

<span class="mw-page-title-main">İkili logaritma</span> Matematiksel fonksiyon

İki tabanlı logaritma ya da ikili logaritma taban olarak 2 nin kullanıldığı bir logaritma fonksiyonudur. Logaritmada her pozitif sayı taban olarak kullanılabilir. Ama uygulamada en yaygın logaritma tabanları 10 ve e=2,718281.. dir. Bunlardan 10 tabanlı logaritmaya adi logaritma, e tabanlı logaritmaya da doğal logaritma denilir. Kimi uygulamalarda ise 2 tabanı tercih edilir. Fonksiyon olarak gösterilirse de olarak gösteren kitaplar da vardır. Bununla birlikte Rus ve Alman matematikçiler bu notasyonu 10 tabanlı logaritma için de kullandıkları için şeklindeki gösterim daha doğrudur.