Üretim fonksiyonu

Matematikte üretim fonksiyonu veya üretim işlevi (İng. generating function) verilen bir dizinin girdilerinin bilgisini katsayılarında tutan bir biçimsel kuvvet serisidir.

Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üretim fonksiyonları vardır. Örneğin verilen bir a_n dizisine karşılık gelen adi üretim fonksiyonu, üstel üretim fonksiyu, Lambert serisi, Bell serisi ve Dirichlet serisi gibi her üretim fonksiyonu tipinin bir dizisi vardır. Adi üretim fonksiyonu şöyle tanımlanır:

G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.

Bir a_n dizisi için üstel üretim fonksiyonu ise şöyledir:

G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}.

Bir S örnek uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her $s\in S$ için $X(s)\geq 0$ )

G_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p(X(s)=n)x^{n}

serisine olasılık üreteç işlevi denir. Burada p harfi olasılık dağılımıdır.

Bir ürim fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir güç serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç işlevinin kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı araştırılabilir ve bu x değerleri için eşit olduğu işlev yazılabilir. Örneğin, $1,1,1,\ldots$ dizisine karşılık gelen

\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}

üretim fonksiyonu, $|x|<1$ için ${\frac {1}{1-x}}$ işlevine eşittir.

Örnekler

Tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu a_n = n² dır:

Basit üretim fonksiyonu

G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}

Üstel üretim fonksiyonu

EG(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}

Bell serisi

f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p^{2n}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}

Dirichlet serisi üretim fonksiyonu

DG(n^{2};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2)

Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu

Çokdeğişkenli üretim fonksiyonu sayılarının pratik hesabının sınır tablosu negatif olmayan tam sayılarla hazırlanmış özel satır ve sütunlara özgüdür. Kolaylık olsun diye r satır ve c sütun; satır toplamı $t_{1},\ldots t_{r}$ dır. sütun toplamı $s_{1},\ldots s_{c}$ .'dır.I. J. Good ^[1],'ye göre $x_{1}^{t_{1}}\ldots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\ldots y_{c}^{s_{c}}$ katsayılarının sayı tablosu

\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.

Uygulamalar

Verilen özyineleme'li bir dizi için kapalı formül bulma. Örneğin Fibonacci sayıları düşünülebilir.
Diziler için özyineleme ilişkileri - Bir üreten fonksiyon şeklinde özyineleme formülü önerilebilir.
Diziler arasında ilişkileri bulma - iki üreten fonksiyonlu dizi varsa, bu dizilerin muhtemelen ortak bir formu vardır.
Dizilerinin asimtotik davranışı keşfetme.
Kimlikler içeren dizileri kanıtlama.
Kombinatorik içinde numaralandırma sorunlarını çözme ve çözümleri kodlama. Rook polinomları kombinatorikte uygulama için bir örnektir.
Sonsuz toplamları değerlendme.

Benzer kavramlar

Polinomal öteleme,bir polinomu (katsayı 'sız) kabul eden değerleri bulmak. ;soyut bir durumda değişmeli cebir'deki Hilbert polinomu'dur

Ayrıca bakınız

Kaynakça

Herbert S. Wilf, Generatingfunctionology (Second Edition)11 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (1994) Academic Press. ISBN 0-12-751956-4.
Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 1 Fundamental Algorithms (Third Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.9: Generating Functions, pp. 87–96.
Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, and Oren Patashnik, Concrete Mathematics. A foundation for computer science (Second Edition) Addison-Wesley. ISBN 0-201-55802-5. Chapter 7: Generating Functions, pp. 320–380

^ Good, I. J. (1986). "On applications of symmetric Dirichlet distributions and their mixtures to contingency tables". The Annals of Statistics. 4 (6). ss. 1159-1189.