Özdeşlik teoremi - Turkipedia

Karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, bağlantılı açık bir D kümesi üzerinde verilmiş olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D içindeki bir z noktasının komşuluğunun üzerinde eşit olursa (yani f = g ise), o zaman bu iki fonksiyonun D üzerinde eşit olduklarını ifade eder. Bu yüzden, holomorf bir fonksiyon tamamıyla, D içinde muhtemelen çok küçük bir komşuluktaki değerleriyle belirlenir. Bu durum, gerçel türevlenebilir fonksiyonlar için doğru değildir. Karşılaştırıldığında, holomorfluk veya karmaşık türevlenebilirlik, daha esnek olmayan bir fikirdir.

Teoremin altında esas olan fikir holomorf fonksiyonların Taylor serisi olarak açılabilmeleri; yani, holomorf fonksiyonların analitikliğidir.

Kanıt

D bölgesi üzerindeki bağlantılılık varsayımı gereklidir ve aslında kısa bir kanıtın anahtarıdır. (Açıkçası, D iki açık ve ayrık kümeden oluşursa, sonuç burada doğru olmaz.) Bu varsayım altında, verilen küme boş olmadığı için, topoloji açısından iddia, f ve g 'nin hem açık hem de kapalı olan bir küme üzerinde eşit oldukları anlamına gelir. Burada kapalılık, f ve g 'nin sürekliliğinden ileri gelmektedir.

Bu yüzden, ana fikir f ve g 'nin birbirine eşit olduğu açık kümeyi göstermektir. Bir holomorf fonksiyon kendi tanım kümesindeki her yerde kendi Taylor serisi vasıtasıyla temsil edilebildiği için

S=\{z\in D|f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z)\quad ;\;\forall k\geq 0\}.

kümesini göz önüne almak yeterlidir.

w, S 'nin içinde bir nokta olsun. O zaman, f ve g 'nin Taylor serileri pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip olduğundan, belli bir r için B_r(w) açık diski de S içinde yer alır. (Aslında r, w 'nin D 'nin sınırına olan uzaklığından küçük herhangi bir sayı olabilir.) Bu S 'nin açık olduğunu gösterir ve teoremin kanıtını verir.

Bir iyileştirme

Teoremin varsayımları aynı sonucu üretecek şekilde hafifçe gevşetilebilir. Belirli bir şekilde, D üzerindeki iki holomorf fonksiyon, D içindeki yığılma noktası (bu nokta c olsun) olan bir kümede aynıysa, o zaman D üzerinde f=g 'dir.

Bunu kanıtlamak için, her k ≥ 0 için f^(k)(c) = g^(k)(c) olduğunu göstermek yeterlidir. Eğer böyle olmazsa, m, f^(m)(c) ≠ g^(m)(c) eşitsizliğini sağlayan negatif olmayan en küçük tam sayı olsun. holomorfluk dolayısıyla, c 'nin açık bir komşuluğunda aşağıdaki Taylor serisi temsili vardır:

{\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot [\,(f-g)^{(m)}+(f-g)^{(m+1)}(z-c)+\cdots \,]\\&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z)\\\\\end{aligned}}

Bariz bir şekilde, h, c etrafındaki açık bir B diskinde sıfır değeri almaz. Ancak, bu halde, delikli B - {c} kümesi üzerinde f - g ≠ 0 olur. Ama bu da c 'nin yığılma noktası olmasıyla {f = g} çelişir ve bu yüzden iddia kanıtlanır.

Teoremin bu formülasyonu, karmaşık bir a sayısı için f = a olmadıkça f^-1(a) 'nın ayrık (ve sayılabilir) bir küme olduğunu gösterir.

Kaynakça

Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S., Complex variables: Introduction and applications, Cambridge University Press, Cambridge, Birleşik Krallık, 1997, sf. 123, ISBN 0-521-48058-2.

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematiğin bir alanı olan karmaşık analizde, karmaşık değişkenli ve karmaşık değerler alan bir f fonksiyonu

bir a noktasında holomorfsa, a noktası etrafındaki açık bir komşuluk içindeki her noktada türevlenebilirdir. Aynı zamanda ters ifade de doğrudur: fonksiyon a noktası etrafındaki bir açık komşuluk içindeki her noktada türevlenebilir ise, fonksiyon a noktasında holomorftur.
bir a noktası etrafında yakınsak bir kuvvet serisi olan

\text{[math]}

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın ardından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorf olduğunu kanıtlamak için kullanılan temel bir sonuçtur. İtalyan matematikçi Giacinto Morera'nın adını taşımaktadır.

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Augustin Louis Cauchy'nin ismine atfedilen Cauchy integral teoremi, karmaşık düzlemdeki holomorf fonksiyonların çizgi integralleri hakkında önemli bir teoremdir.

Karmaşık analizde kutup ya da doğru bir söylemle bir meromorf fonksiyonun kutbu, 1/zⁿ 'nin z = 0 noktasındaki tekilliği gibi davranan matematiksel bir tekilliktir. Bu özellikle şu anlama gelir: Bir f(z) fonksiyonun z = a noktasındaki kutbu, z noktası a noktasına yaklaştıkça f(z)'yi sonsuza düzgün bir şekilde yaklaştıran noktadır.

Karmaşık analizde, esaslı tekillik veya daha düzgün bir söylenişle bir fonksiyonun esaslı tekilliği, fonksiyonun çok uç bir davranış gösterdiği katı bir tekilliktir.

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin adıyla adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir. Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder. Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir. Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir.

Karmaşık analizde Charles Émile Picard'ın ismine atfedilen Picard teoremi analitik bir fonksiyonun görüntü kümesiyle ilişkin ayrı ayrı ama yine de birbirine bağlı iki teoremdir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Liouville teoremi tam fonksiyonların sınırlılığıyla ilgili temel bir teoremdir.

Karmaşık analizde açık gönderim teoremi, U, karmaşık düzlem C 'nin bağlantılı açık bir altkümesiyse ve f : U → C sabit olmayan holomorf bir fonksiyonsa, o zaman f 'nin açık gönderim olduğunu ifade eder.

Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği bir noktadır.

Matematikte tersholomorf fonksiyonlar holomorf fonksiyonlara oldukça yakın ancak yine de onlardan ayrı olan fonksiyonlar ailesidir.

Meromorf fonksiyon, özellikle karmaşık analizde, bir fonksiyon çeşidi. Daha açık bir ifadeyle, meromorf fonksiyon, karmaşık düzlemin açık bir D kümesi üzerinde fonksiyonun kutup noktalarından oluşan belli bir korunmalı noktalar kümesi haricinde D 'nin geriye kalan diğer noktalarının tümünde holomorf olan fonksiyondur. Meromorf kelimesi Yunanca "kısım", "parça" anlamına gelen “meros” ve "tüm", "bütün" anlamına gelen “holos” kelimelerinin tezat bir birleşiminden ortaya çıkmış bir kelimedir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Schwarz önsavı, karmaşık düzlemdeki birim daire üzerinde tanımlı ve değer kümesi yine aynı birim daire olan holomorf fonksiyonların aldığı değerlerin üzerine kestirimler veren önemli bir sonuçtur. Her ne kadar bilim dizininde önsav olarak isim almışsa da kendi başına önemli bir teoremdir. Bu sonuç, günümüzde herhangi bir karmaşık analiz kitabında ifade edilen şeklinden daha farklı bir şekilde ilk defa Alman matematikçi Hermann Amandus Schwarz tarafından kendi doktora tezinde ifade edilmiştir. Sonucu günışığına çıkarıp günümüzdeki ifadesini yazan ve aynı zamanda bu önsavın tanınmasını sağlayan matematikçi ise Yunan matematikçi Constantin Carathéodory olmuştur.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorf bir f fonksiyonunun sıfırı veya kökü f(a) = 0 eşitliğini sayılan karmaşık a sayısına verilen bir addır. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyonların sıfır değerini aldığı karmaşık sayılara o fonksiyonun sıfırları adı verilir.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde maksimum ilkesi veya maksimum modülüs prensibi veya en büyük mutlak değer teoremi holomorf bir $\text{[math]}$ fonksiyonunun tanım kümesi olan bir bölgede fonksiyonun mutlak değeri olan $\text{[math]}$ 'nin yerel bir maksimuma sahip olamayacağını belirten önemli bir sonuçtur.

Sözde dışbükey bölgeler, matematikte karmaşık analizin ve çok değişkenli karmaşık analizin merkezinde yer alan holomorf fonksiyonların doğal tanım kümeleridir.

Matematikte Riemann yüzeyi, özellikle karmaşık analizde bahsi geçen tek boyutlu karmaşık bir manifolddur. Bu yüzey(ler) ilk olarak Bernhard Riemann tarafından incelenmiş ve isimlendirilmiş. Riemann yüzeyleri, karmaşık düzlemin deforme olmuş versiyonları olarak düşünülebilir: her noktanın yakınında karmaşık düzlemin yerel olarak yamaları gibi görünürler, ama topolojisi oldukça farklı olabilmektedir.

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, holomorfluk bölgesi, üzerinde tanımlı olan holomorf fonksiyolardan en az bir tanesinin daha büyük bir bölgeye holomorf özelliğini koruyarak devam ettirelemediği bölgelere verilen addır. Karmaşık düzlemdeki açık kümelerin hepsi holomorfluk bölgesidir. Ancak, karmaşık düzlemde geçerli olan bu sonucun dengi bir sonuç yüksek boyutlu uzayda herhangi bir bölge için geçerli değildir. Bu yüzden, holomorfluk bölgelerin belirleyici özelliklerini bulmak yirminci yüzyılın ilk yarısında çok değişkenli karmaşık analizde en yoğun çalışılmış konulardan birisi olmuştur. Bu farklılığı ilk defa Fritz Hartogs göz önüne sermiştir ve sonuç en genel haliyle Hartogs devam (genişleme) teoremi olarak bilinmektedir.

Matematikte, çok değişkenli karmaşık analiz ya da çok boyutlu karmaşık analiz, karmaşık koordinat uzayı $\text{[math]}$ de ya da bu uzayın altkümeleri üzerinde tanımlı ve karmaşık değer alan fonksiyonların teorisi; yani, birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonların teorisidir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.