Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı[1] ya da eigen ayrışımı,[2] bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
Tanım
n adet doğrusal olarak bağımsız qi (i = 1, ..., n) özvektörleri olan n × n boyutlu A kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

Burada Q, i numaralı sütunu A'nın qi özvektörü olan n × n boyutlu kare matristir. Λ ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Λii = λi) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin,
ayrıştırılamaz.
Özvektörler qi genellikle normaldir, ama bazen Q'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet vi özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q−1 ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.
Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

Örnek
2 × 2 boyutlu A matrisi

tekil olmayan B matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Herhangi bir köşegen matrisi
için,
özdeşliği:

İki taraf da B ile çarpılırsa:

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:

Vektörleri isimlendirirsek:

iki vektör denklemi elde ederiz:

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:

burada λ iki özdeğeri (x, y), u ise iki vektörü (a→, b→) içerir.
λu'u sola kaydırıp u'yu ayırırsak:

B tekil olmadığı için u sıfırdan büyüktür. Yani,

Böylece,

A matrisinin özdeğerlerini verir (λ = 1, λ = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi
olur.
Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek

ve bu denklemi çözersek:

B'yi buluruz

ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

Kaynakça