Özdeğer ayrışımı

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı^[1] ya da eigen ayrışımı,^[2] bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

n adet doğrusal olarak bağımsız q_i (i = 1, ..., n) özvektörleri olan n × n boyutlu A kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:

${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}$

Burada Q, i numaralı sütunu A'nın q_i özvektörü olan n × n boyutlu kare matristir. Λ ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Λ_ii = λ_i) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin, ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}\right]}$ ayrıştırılamaz.

Özvektörler q_i genellikle normaldir, ama bazen Q'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet v_i özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q⁻¹ ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.

Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}}}$

2 × 2 boyutlu A matrisi

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}$

tekil olmayan B matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}$

Herhangi bir köşegen matrisi ${\displaystyle C=\left[{\begin{smallmatrix}x&0\\0&y\end{smallmatrix}}\right]}$ için, ${\displaystyle \mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {C} }$ özdeşliği:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}$

İki taraf da B ile çarpılırsa:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}$

Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}$

Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

Vektörleri isimlendirirsek:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}$

iki vektör denklemi elde ederiz:

${\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}$

İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }$

burada λ iki özdeğeri (x, y), u ise iki vektörü (a→, b→) içerir.

λu'u sola kaydırıp u'yu ayırırsak:

${\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }$

B tekil olmadığı için u sıfırdan büyüktür. Yani,

${\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}$

Böylece,

${\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}$

A matrisinin özdeğerlerini verir (λ = 1, λ = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&3\end{smallmatrix}}\right]}$ olur.

Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}$

ve bu denklemi çözersek:

${\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}$

B'yi buluruz

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}$

ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }$