Öteleme

Öklid geometrisinde bir öteleme, belli bir yönde sabit bir uzaklık kadar yer değiştirme demektir. Eşölçer dönüşümlerden biridir (diğerleri dönme ve yansımadır). Ötelemenin bir diğer yorumu, her noktaya sabit bir vektör eklemek veya koordinat sistemini kaydırmaktır. Bir öteleme operatörü ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$ şöyle tanımlanır: ${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$

Eğer v sabit vektör ise T_v ötelemesi T_v(p) = p + v olarak çalışır. Eğer T bir öteleme, A altında fonksiyon T nin bir altkümesinin görüntü'sü ise T tarafından Anın ötelemesidir Bu öteleme T_v tarafından sıklıkla A + v olarak yazılır.

Bir Öklid uzayı'nda, herhangi bir öteleme bir izometri'dir.Bu bütün ötelemelerin formlarının kümesi T öteleme grubu,uzayın kendisine izomoriktir ve Öklidyen grup E(n)'nin bir normal altgrup'udur. E(n)'nin kota grubu T tarafından ortogonal grup O(n)ya izomorfiktir:

E(n) / T ≅ O(n).

Bir ötelemede bir benzeşik dönüşüm ile sabit nokta'lar yoktur. Matris çarpımında her zaman orijin olarak bir sabit nokta vardır. Yine de, burada bir vektör uzayı ile matris çarpımı'nın bir ötelemesinin gösterimine bir ortak geçici çözüm olarak kullanılan homojen koordinatlar :

3-boyutlu vektör w olarak şu yazılır

w= (w_x, w_y, w_z)

kullanılan 4 homojen koordinat olarak

w = (w_x, w_y, w_z, 1).^[1]

Bir vektör v tarafından bir nesnenin ötelemesi, her homojen vektör p (homojen koordinatlar içinde yazılır) bu öteleme matrisi tarafından çarpılabilir:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Aşağıda gösterildiği gibi, çarpma beklenen sonucu verecektir:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Bir çeviri matrisin ters vektör yönünü tersine çevrilmesi elde edilebilir:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

Benzer şekilde, çeviri matrislerin çarpım vektörleri eklenerek verilir:

${\displaystyle T_{\mathbf {u} }T_{\mathbf {v} }=T_{\mathbf {u} +\mathbf {v} }.\!}$

Çünkü vektörlerin eklemeli değişmelisidir,öteleme matrislerinin çarpımı bu nedenle değişmeli (keyfi matrislerin çarpımının aksine)dir.

Fizik'te, öteleme (ötelemeli hareket)hareketli bir nesnenin pozisyon değişikliğidir,döndürme'ye karşıttır. örneğin, Whittakere göre:^[2]

Bir cisim bir pozisyondan başka bir pozisyona hareket ettirilirse ve cisim noktalarına her ilk ve son noktaları birleştiren hat uzunluğunun paralel düz çizgiler bir ℓ dizisi ise, uzayda cismin yönü değişmeden böylece bir ℓ mesafesi boyunca çizgilerin yönünde paralel olarak öteleme, bir yerdeğiştirme olarak adlandırılır .

— E.T. Whittaker: A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, p. 1

Bir öteleme formülüne göre, bir nesnenin tüm noktalarının konumlarını (x, y, z) değişen bir işlemdir.

${\displaystyle (x,y,z)\to (x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)}$

burada ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ vektör nesnenin her noktası için aynıdır. Bu öteleme vektörü ${\displaystyle (\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ tanımlanan nesnenin yerdeğiştirme'sinin özel tipinin bütün noktalarına ortaktır, Kullanılan bir doğrusal rotasyon içeren değiştirmelerden onu ayırmak için değiştirme açısal yerdeğiştirmeler olarak adlandırılır.

Uzayın (veya zamanın) bir ötelemesi Bir nesnenin bir ötelemesi ile karıştırılmamalıdır. Bu tür ötelemelerde sabit noktalar yoktur.

• Dönüşüm matrisi

Wikimedia Commons'ta Öteleme ile ilgili ortam dosyaları bulunmaktadır.

• Translation Transform16 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Cut-the-Knot
• Geometric Translation (Interactive Animation)18 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Math Is Fun
• Understanding 2D Translation15 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. and Understanding 3D Translation17 Eylül 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.