Öngörü aralığı

İstatistikte tahmin aralığı, gözlemlenemeyen anakütle parametresinin tahmininde kullanılan güven aralığı yaklaşımından esinlenir.

Normal dağılımlı anakütleden bir örnek elde edildiğini varsayalım. Anakütlenin ortalaması ve standart sapması örnekleme dayalı olarak tahmin edilmediği sürece belirsizdir. Bir sonraki gözlemin tahmin edilmesi arzulanmaktadır. n örneklem boyutu; μ ve σ sırasıyala örneklemin gözlemlenemeyen ortalaması ve standart sapması olsun. X₁, ..., X_n, örneklem; X_n+1 tahmin edilecek ileriki zamandaki gözlem olsun:

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n}$

ve

${\displaystyle S_{n}^{2}={1 \over n-1}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}}_{n})^{2}.}$ olduğu için,

${\displaystyle {X_{n+1}-{\overline {X}}_{n} \over {\sqrt {S_{n}^{2}+S_{n}^{2}/n}}}={X_{n+1}-{\overline {X}}_{n} \over S_{n}{\sqrt {1+1/n}}}}$ gösteriminin n-1 serbestlik derecesinde t dağılımı gösterdiği ortaya konulabilir.

Sonuçta A, 100(1 - (p/2))inci persentili (yüzdeliği) göstermek üzere

${\displaystyle P\left({\overline {X}}_{n}-AS_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}\leq X_{n+1}\leq {\overline {X}}_{n}+AS_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}\,\right)=p}$ elde edilir. Buradan da

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{S}_{n}{\sqrt {1+(1/n)}}}$ ifadesinin tahmin aralığının uçları olduğu gösterilmektedir.