Öklid uzayı

Matematikte Öklid uzayı, Öklid geometrisinin üç boyutlu uzayıdır ve bu kavramlar, çok boyutlu olarak genelleştirilir. “Öklid” terimi bu uzayları, Öklid geometrisi olmayan eğimli uzaydan ve Einstein'nın genel görelilik kuramından ayırt eder. Bu adı Yunan matematikçi Öklid'den dolayı almıştır.

Modern matematikte Öklid uzayını ifade etmek için kartezyen koordinat sistemi ve analitik geometri kavramları çok yaygın olarak kullanılır.

Reel sayılar kümesi R ile gösterilsin. Herhangi bir pozitif n tamsayısı. Rde n boyutlu vektör uzayında tüm n katlı reel sayılardan oluşsun. Bu Rⁿ sembolü ile gösterilir ve bazen reel koordinat uzayı olarak adlandırılır. Rⁿde bir eleman şöyle yazılabilir;

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

Her bir x_i, bir reel sayıdır. Rⁿdeki vektör uzayı işlemleri şöyle ifade edilir;

${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),}$

${\displaystyle a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n}).}$

Rⁿ vektör uzayı doğal taban ile gösterilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0),\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0),\\&{}\,\,\,\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1).\end{aligned}}}$

Rⁿde keyfi bir vektör, aşağıdaki biçimde yazılabilir;

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$

Rⁿ, bir n boyutlu vektör uzayında prototip örnektir. Aslında her reel n boyutlu vektör uzayı V, Rⁿ izomorfizmasıdır.

Öklid uzayı, bir reel koordinat uzayında daha fazlasıdır. Öklid geometrisinde işlem yapmak için noktalar arasındaki mesafeden ve çizgi veya vektörler arasındaki açıdan da bahsetmek gerekir. Bu nicelikleri elde etmenin doğal yolu, Rⁿ'de nokta çarpım kullanmak gerekir. Herhangi x ve y iki reel nvektörü nokta çarpımı şöyle ifade edilir;

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

Sonuç daima bir reel sayıdır. Ayrıca xin kendisi ile nokta çarpımı hiçbir zaman negatif olmaz. Bu çarpım, bir x vektörünün "uzunluğunu" ifade etmemizi sağlar, şöyle ki;

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.}$

Bu uzunluk fonksiyonu, gerekli norm özelliğini sağlar ve Rⁿde Öklid normu olarak adlandırılır.

θ (0° ≤ θ ≤ 180°), x ile y arasındaki sabit açıdır (periyodik olmayan) ve şöyle ifade edilir;

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)}$

burada cos⁻¹, arccos'un ters trigonometrik fonksiyonudur.

Son olarak, Rⁿdeki bir metriği (uzaklık fonksiyonunu) ifade etmek için aşağıdaki norm kullanılabilir;

${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Bu uzaklık fonksiyonu Öklid uzaklığı olarak adlandırılır ve Pisagor teoreminin bir biçimi olarak görülebilir.

Reel koordinat uzayı ile bu Öklid yapısı Öklid uzayı olarak adlandırılır ve daha çok Eⁿ sembolü ile gösterilir. (Çoğu yazar, Öklid uzayında çalışırken Öklid yapısının anlaşılması için Rⁿ sembolünü kullanmayı tercih eder).

T doğrusal dönüşümlerine yönelimi ifade etmek için Öklid uzayı dönüşü (rotasyonu) kullanılır. Bunlar açı ve uzaklıkla belirtilir;

${\displaystyle T\mathbf {x} \cdot T\mathbf {y} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,}$

${\displaystyle |T\mathbf {x} |=|\mathbf {x} |.}$

Matrisde dönüş, özel ortogonal matrislerdir.

• Kartezyen koordinat sistemi
• Kutupsal koordinat sistemi
• Hilbert uzayı