Öklid teoremi

Öklid'in teoremi, sayılar teorisinde temel bir ifade olup sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ileri sürer. Teoremin iyi bilinen farklı ispatları bulunmaktadır.

Öklid, Elementler (IX. kitap, 20. ifade)^[1] adlı kitabında şöyle yazar:

Sonlu herhangi bir asal sayı listesi p ₁, p₂, ..., p_n olsun. Bu listede olmayan en az bir ilave asal sayının mevcudiyeti ispat edilecektir. P, listedeki bütün asal sayıların çarpımı olsun: P = p₁p₂...p_n. q = P + 1 olsun. O zaman q ya asaldır ya da asal değildir:

• Eğer q asalsa listedekine ilaveten en az bir asal sayı daha vardır.
• Eğer q asal değilse en az bir p asal çarpanı q 'yu böler. Eğer bu p çarpanı liste olsaydı P, listedeki bütün sayıların çarpımı olduğundan P 'yi bölerdi; fakat p, P + 1 = q'yu böler. Eğer p, P 'yi ve q 'yu bölerse p, bu iki sayının farkları da bölmelidir^[2] ki bu (P + 1) − P veya sadece  1'dir. Hiçbir asal sayı 1'i bölemediğinden bu bir çelişki olur ve böylece p listede olamaz. Bu da bu listenin dışında en az bir asal sayının mevcut olduğunu gösterir.

Bu teorem, her sonlu asal sayı listesi için bu listede olmayan başka bir asal sayının olduğunu, bu yüzden de sonsuz sayıda asal sayı olduğunu ispat eder.

Çoğu zaman Öklid'in bu çelişki yoluyla yaptığı iddiası hatalı olarak ileri sürülür. Buna göre rastgele sonlu bir asal sayı kümesi yerine bütün asalları veya en küçük n asalı ihtiva ettiği ileri sürülür.^[3] İspat, tamamıyla çelişkiye (olmayana ergi) dayamamasına, sadece sonlu sayıda asalın olduğunu farz etmemesine rağmen olmayana ergi içindedir: bu da listedeki asalların hiçbirisinin q'yu bölemeyeceği ifadesidir.

İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'in ispatı, aritmetiğin temel teoremine, yani her tam sayının tek şekilde asal çarpanlara ayrılabileceği esasına dayanır. Eğer P, bütün asal sayıların kümesiyse Euler şunu yazmıştır:

${\displaystyle \prod _{p\in P}{\frac {1}{1-1/p}}=\prod _{p\in P}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}.}$

İlk eşitlik, çarpımın her terimindeki geometrik serinin formülüyle verilir. İkinci eşitlik bu çarpımı toplam üzerine dağıtır:

${\displaystyle \prod _{p\in P}\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{p^{k}}}=\sum _{k\geq 0}{\frac {1}{2^{k}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{3^{k}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{5^{k}}}\times \sum _{k\geq 0}{\frac {1}{7^{k}}}\times \cdots =\sum _{k,l,m,n,\cdots \geq 0}{\frac {1}{2^{k}3^{l}5^{m}7^{n}\cdots }}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$

Sonuçta her asal çarpımı tam olarak bir kere vardır ve aritmetiğin in the result, every product of primes appears exactly once and so by the fundamental theorem of arithmetic the sum is equal to the sum over all integers.

The sum on the right is the harmonic series, which diverges. Thus the product on the left must also diverge. Since each term of the product is finite, the number of terms must be infinite; therefore, there is an infinite number of primes.

Paul Erdős gave a third proof that also relies on the fundamental theorem of arithmetic. First note that every integer n can be uniquely written as

${\displaystyle rs^{2}}$

where r is square-free, or not divisible by any square numbers (let s² be the largest square number that divides n and then let r = n/s²). Now suppose that there are only finitely many prime numbers and call the number of prime numbers k.

Fix a positive integer N and try to count the number of integers between 1 and N. Each of these numbers can be written as rs² where r is square-free and r and s² are both less than N. By the fundamental theorem of arithmetic, there are only 2^k square-free numbers r (see Combination#Number of k-combinations for all k) as each of the prime numbers factorizes r at most once, and we must have s < √N. So the total number of integers less than N is at most 2^k√N; i.e.:

${\displaystyle 2^{k}{\sqrt {N}}\geq N.}$

Since this inequality does not hold for N sufficiently large, there must be infinitely many primes.

In the 1950s, Hillel Furstenberg introduced a proof using point-set topology. See Furstenberg's proof of the infinitude of primes.

Juan Pablo Pinasco has written the following proof.^[4]

Let p₁, ..., p_N be the smallest N primes. Then by the inclusion–exclusion principle, the number of positive integers less than or equal to x that are divisible by one of those primes is

${\displaystyle {\begin{aligned}1+\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor -\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor &+\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor -\cdots \\&\cdots \pm (-1)^{N+1}\left\lfloor {\frac {x}{p_{1}\cdots p_{N}}}\right\rfloor .\qquad (1)\end{aligned}}}$

Dividing by x and letting x → ∞ gives

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {1}{p_{i}}}-\sum _{i<j}{\frac {1}{p_{i}p_{j}}}+\sum _{i<j<k}{\frac {1}{p_{i}p_{j}p_{k}}}-\cdots \pm (-1)^{N+1}{\frac {1}{p_{1}\cdots p_{N}}}.\qquad (2)}$

This can be written as

${\displaystyle 1-\prod _{i=1}^{N}\left(1-{\frac {1}{p_{i}}}\right).\qquad (3)}$

If no other primes than p₁, ..., p_N exist, then the expression in (1) is equal to ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ and the expression in (2) is equal to 1, but clearly the epression in (3) exceeds 1. Therefore there must be more primes than  p₁, ..., p_N.

In 2010, Junho Peter Whang published the following proof by contradiction.^[5] Let k be any positive integer. Then according to de Polignac's formula (actually due to Legendre)

${\displaystyle k!=\prod _{p{\text{ prime}}}p^{f(p,k)}\,}$

where

${\displaystyle f(p,k)=\left\lfloor {\frac {k}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {k}{p^{2}}}\right\rfloor +\cdots .}$

${\displaystyle f(p,k)<{\frac {k}{p}}+{\frac {k}{p^{2}}}+\cdots ={\frac {k}{p-1}}\leq k.}$

But if only finitely many primes exist, then

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left(\prod _{p}p\right)^{k}}{k!}}=0,}$

(the numerator of the fraction would grow singly exponentially while by Stirling's approximation the denominator grows more quickly than singly exponentially), contradicting the fact that for each k the numerator is greater than or equal to the denominator.

π için Leibniz formülünün bir Euler ürünü olarak temsil edilişi^[6]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots \;}$

Bu çarpımın payları tek asal sayılardır ve her payda, paya en yakın dördün katıdır.

Sonlu sayıda asal sayı olsaydı, bu formül π'nin paydası 4'ün bir asal sayıdan bir veya daha az olan tüm katlarının çarpımı olan bir rasyonel sayı olduğunu gösterecekti ve bu da π'nin aslında irrasyonel olduğu gerçeğiyle çelişiyordu.

Assume that the number of prime numbers is finite. There is thus an integer, p which is the largest prime.

p! (p-factorial) is divisible by every integer from 2 to p, as it is the product of all of them. Hence, p! + 1 is not divisible by every integer from 2 to p (it gives a remainder of 1 when divided by each). p! + 1 is therefore either prime or is divisible by a prime larger than p.

This contradicts the assumption that p is the largest prime. The conclusion is that the number of primes is infinite.^[7]

• Eric W. Weisstein, Euclid's Theorem (MathWorld)
• Euclid's Elements, Book IX, Prop. 2023 Ocak 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (Euclid's proof, on David Joyce's website at Clark University)