Çoklu sayılı özetleme tabloları

Çoklu sayılı özetleme tablosu betimsel istatistik alanında kullanılan genellikle aralıksal ölçekli veya oransal ölçekli tek değişirli sayısal verilerinin iki değişik tip özetleme araçlarıdır. Bu iki değişik özetleme araçları şunlardır:

1. beş sayılı özetleme tablosu;
2. yedi sayılı özetleme tablosu.

Beş sayılı özetleme tablosu bir betimsel istatistik veri özetleme araci olup bir örneklem veri serisinin alt ve üst uç noktalarından ve sıralanmış verilerini dört eşit parçaya bölen üç ölçüden oluşur; bu beş nokta şunlardır:

1. X_min: Örneklem minimumu "en küçük gözlem değeri"
2. Q1: Dörttebirlik "birinci veya alt dörttebirlik"
3. X_med: Medyan "ortanca veya sıralanmış verilerin ortası"
4. Q1 : Dörttebirlik "üçüncü veya üst dörttebirlik"
5. X_maks: Örneklem maksimumu "en büyük gözlem değeri"

Bu noktalar soyle bir tabloya konulabilir:

            X_med

        Q1         Q3

   X_min                X_maks

Tablonun alternatif görünüşü şōyle de olabilir:

Bu araç ve kullandığı beş özetleme noktası tek değişirli sayısal verilerinin genellikle aralıksal ölçekli veya oransal ölçekli olmalıdır. Bazı istatistikçiler sırasal ölçekli veriler için de uygun olacağını kabul etmektedir.

Beş sayılı özetleme tablosu gözlemlerin dağılımı hakkında kapsamlı ama kısa bir özet sağlamaktadır. Beş tane özetleme sayısını vermekle tek bir özetleme ölçüsünü seçmenin zorluklarından kaçınılmış olmaktadır. Medyan verilmesi ile merkezsel konum niteliği özetlenmekte; minimum ve maksimum verilmekle açıklık değeri ve dörttebirlikler verilmekle çeyrekler açıklığı açıkça görülüp çokluluk dağılımının istatistiksel yayılma ve sapma niteliği ortaya çıkartılmaktadır. Bu grafiksel alet yalnız aralıklı ve orantılı ölçekli miktarsal veriler için değil de sırasal ölçekli veriler için de rahatlıkla kullanılabilmektedir.

Birkaç değişik veri dağılımının karşılaştırılması ya birkaç beş-sayılı özetleme tablosunun veya bunlarda kullanılan grafiksel birkaç kutu grafiği'ni birlikte vererek kolayca yapılabilme imkânı ortaya çıkmaktadır.

Örnek veri güneş sistemi içindeki gezegenleri büyük küçük uydu sayısını vermektedir:

0, 0, 1, 2, 63, 61, 27, 13.

Önce bu gözlem verilerini artan bir sıralamaya tabi tutarız:

0, 0, 1, 2, 13, 27, 61, 63.

Elde 8 tane veri bulunmaktadır ve medyan ve dörttebirlikler şöyle bulunur:

Böylece beş-sayılı-özetleme tablosu şöyle verilebilir:

            7,5

        0,5         44

   0                  63

İyi bilinen istatistik yazılımlarından başta gelenlerden olan "R programlama dili" ile beş-sayılı-özetleme tablosu kurmak için fivenum fonksiyonu kullanılır:

> uydular <- c(0, 0, 1, 2, 63, 61, 27, 13)
> fivenum(uydular)
[1]  0.0  0.5  7.5 44.0 63.0
> summary(fivenum(uydular))
   Min. 1st Qu. Median    Mean 3rd Qu. Max. 
    0.0     0.5     7.5    23.0    44.0    63.0 

Görüldüğü gibi summary komutası kullanarak sonuç alınırken beş-sayılı-özetleme için gerekmeyen aritmetik ortalama değeri de verilmektedir.

Bir normal dağılımlı model için uygun parametrelerden oluşan ve bu nedenle parametrik istatistik yaklaşımı olarak kabul edilen bu tür "yedi sayılı özetleme tablosu"nda şu sayısal değerler bulunmaktadır:

1. 2. yüzdebirlik
2. 9. yüzdebirlik
3. 25. yüzdebirlik veya alt dörttebirlik veya birinci dörttebirlik
4. 50inci yüzdebirlik veyamedian (ortanca veya ikinci dörttebirlik)
5. 75. yüzdebirlik veya üst dörttebirlik veya üçüncü dörttebirlik
6. 91. yüzdebirlik
7. 98. yüzdebirlik

Bu tablodaki ortadaki üç özetleme ölçüsü – alt dörttebirlik, medyan ve üst dörttebirlik – "beş-sayılı-özetleme" için standart istatistiklerdir ve kutu grafiği içinde de kullanılırlar.

İngiliz istatistikçisi Arthur Bowley parametrik olmayan istatistik olarak maksimum ve minimum, medyan, dörttebirlikler ve iki uç ondabirliklerden oluşan bir "yedi-sayılı özetleme" önermiştir.^[1]

Bu yedi özetleme ölçüsü şunlardır:

1. X_min : Örneklem minimumu
2. D1 : "1. ondabirlik"
3. Q1 : "1. dörttebirlik"
4. X_med: "medyan"
5. Q3 : "3. dörttebirlik
6. D9 : "9. ondabirlik"
7. X_max : "Örneklem maksimumu"

• Dörttebirlik
• Medyan
• Kutu grafiği

• Bu madde kısmen Ingilizce Wikipedia "Five-number_summary" maddesi kaynaklıdır: İngilizce Wikipedia 23 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:28.5.2010)
• Bu madde kısmen Ingilizce Wikipedia "Seven-number_summary" maddesi kaynaklıdır: [1]13 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:28.5.2010)

• Hoaglin, David C, Frederick Mosteller ve John W. Tukey (1983), Understanding robust and exploratory data analysis New York:Wiley ISBN 0-471-09777-2 (İngilizce)