Çift merkezli çokgen

Geometride, çift merkezli (bicentric) çokgen, teğet bir çokgendir (tüm kenarları bir iç çemberle teğet olan bir çokgendir) ve aynı zamanda döngüsel yani kirişler dörtgenidir - yani, çokgenin her köşesinden geçen bir çevrel çember içine çizilmiştir. Tüm üçgenler ve tüm düzgün çokgenler çift merkezlidir. Öte yandan, kenarları eşit olmayan bir dikdörtgen çift merkezli değildir, çünkü hiçbir çember dört kenara da teğet olamaz.

Her üçgen çift merkezlidir.^[1] Yarıçapları sırasıyla r ve R olan iç teğet çember ve çevrel çember içerisindeki bir üçgen için ilgili denklem aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle {\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}}$

burada x, çemberlerin merkezleri arasındaki mesafedir.^[2] Bu, Euler üçgen formülünün bir versiyonudur.

Tüm dörtgenler çift merkezli değildir (hem bir iç çember hem de bir çevrel çember içerir). ${\displaystyle R}$ ve ${\displaystyle r}$ yarıçaplı iki çember (biri diğerinin içinde) verildiğinde ${\displaystyle R>r}$, bunlardan birince çevrelenmiş ve diğerine teğet bir dışbükey dörtgen vardır, ancak ve ancak yarıçapları aşağıdaki koşulu sağlarsa,

${\displaystyle {\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

burada ${\displaystyle x}$, çemberlerin merkezleri arasındaki mesafedir.^[2][3] Bu koşul (ve daha yüksek dereceden çokgenler için benzer koşullar) Fuss teoremi olarak bilinir.^[4]

Çevrel çemberin yarıçapı R, iç teğet çemberin yarıçapı r ve çevrel çemberin merkezi ile iç teğet çemberin merkezi arasındaki x mesafesi arasındaki ilişki için herhangi bir n sayıda kenarı olan çokgenler için karmaşık bir genel formül bilinmektedir.^[5] Belirli n sayısı için bunlardan bazıları aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},}$

${\displaystyle n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},}$

${\displaystyle n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},}$

burada ${\displaystyle p={\tfrac {R+x}{r}}}$ ve ${\displaystyle q={\tfrac {R-x}{r}}}$'dir.

Her düzgün çokgen çift merkezlidir.^[2] Düzgün bir çokgende, iç çember ve dış çember eş merkezlidir -yani, aynı zamanda düzgün çokgenin de merkezi olan ortak bir merkezi paylaşırlar, bu nedenle iç çember merkezi ile çevrel çember merkezi arasındaki mesafe her zaman sıfırdır. İç teğet çemberin yarıçapı iç yarıçap (apotem)'tır (merkezden düzgün çokgenin sınırına en kısa mesafe).

Düzgün bir çokgen için, ortak kenar uzunluğu ${\displaystyle a}$, iç çember yarıçapı ${\displaystyle r}$ ve çevrel çember yarıçapı ${\displaystyle R}$ arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir:

${\displaystyle R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.}$

Pergel ve cetvel ile çizilebilen bazı düzgün çokgenler için, bu ilişkileri gösteren aşağıdaki cebirsel formüllere sahibiz:

${\displaystyle n\!\,}$	${\displaystyle R\,{\text{ve}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{ve}}\,a\!\,}$	${\displaystyle r\,{\text{ve}}\,R\!\,}$
3	${\displaystyle R{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle 2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R\!\,}$
4	${\displaystyle R{\sqrt {2}}=a\!\,}$	${\displaystyle r={\frac {a}{2}}\!\,}$	${\displaystyle 2r=R{\sqrt {2}}\!\,}$
5	${\displaystyle R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,}$	${\displaystyle r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,}$	${\displaystyle r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,}$
6	${\displaystyle R=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,}$
8	${\displaystyle R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,}$	${\displaystyle r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,}$	${\displaystyle 2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,}$
10	${\displaystyle ({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,}$	${\displaystyle 2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,}$	${\displaystyle {\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,}$

Böylece aşağıdaki ondalık yaklaşık değerlere sahibiz:

${\displaystyle \ n\!\,}$	${\displaystyle {\frac {R}{a}}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {r}{a}}\!\,}$	${\displaystyle {\frac {R}{r}}\!\,}$
${\displaystyle \ 3}$	${\displaystyle 0,577\,}$	${\displaystyle 0,289}$	${\displaystyle 2,000\,}$
${\displaystyle \ 4}$	${\displaystyle 0,707\,}$	${\displaystyle 0,500}$	${\displaystyle 1,414\,}$
${\displaystyle \ 5}$	${\displaystyle 0,851\,}$	${\displaystyle 0,688}$	${\displaystyle 1,236\,}$
${\displaystyle \ 6}$	${\displaystyle 1,000\,}$	${\displaystyle 0,866}$	${\displaystyle 1,155\,}$
${\displaystyle \ 8}$	${\displaystyle 1,307\,}$	${\displaystyle 1,207}$	${\displaystyle 1,082\,}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 1,618\,}$	${\displaystyle 1,539}$	${\displaystyle 1,051\,}$

İki çember, belirli bir çift merkezli n-genin iç teğet ve çevrel çemberleriyse, o zaman aynı iki çember sonsuz sayıda çift merkezli n-genin iç teğet ve çevrel çemberleridir. Daha kesin olarak, iki çemberin içine her teğet doğru, dış çemberle kesiştiği noktalarda doğru üzerine köşeler yerleştirilerek, her bir tepeden başka bir teğet doğru boyunca devam ederek ve aynı şekilde ortaya çıkan çokgen zincir bir n-gene kadar kapanana kadar devam ederek iki merkezli bir n-gene uzatılabilir. Her zaman böyle olacağı gerçeği, daha genel olarak iç teğet ve çevrel konikler için geçerli olan Poncelet kapanış teoremi tarafından da ima edilmektedir.^[6]

Ayrıca, bir iç çember ve dış çember verildiğinde, değişken çokgenin her köşegeni sabit bir çembere teğettir.^[7]

• Eric W. Weisstein, Bicentric Polygon (MathWorld)
• Bicentric Polygon 20 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Bicentric Polygon 20 Ocak 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. @Geogebra

• Mirko Radić & Nenad I. Trinajstić, (2006), On A System Of Equations Related To Bicentric Polygons, Applied Mathematics E-Notes, 8(2008), 9-16, ISSN:1607-2510, Makale^[]
• Radić, M. (2009), One System of Equations Concerning Bicentric Polygons. J. geom. 91, ss. 119–139 (2009). https://doi.org/10.1007/s00022-008-2029-9
• Mirko Radić, (2010), An improved method for establishing Fuss' relations for bicentric polygons, Comptes Rendus Mathematique, Volume 348, Issues 7–8, ss. 415-417, ISSN 1631-073X, https://doi.org/10.1016/j.crma.2010.02.021.
• Giorgadze, Gia. (2013). Remarks on Bicentric Polygons. Bulletin of the Georgian National Academy of Science. 7. 5-10.
• Khimshiashvili, G., (2016), Proceedings of A. Razmadze Mathematical Institute Vol. 168 (2015), ss. 41–52, Makale