İçeriğe atla

Çember sıkıştırma teoremi

Beş köşeli düzlemsel çizge için bir çember sıkıştırma

Çember sıkıştırma teoremi (Koebe-Andreev-Thurston teoremi olarak da bilinir), düzlemde iç kısımları ayrık olan çemberler arasındaki olası teğetlik ilişkilerini tanımlar. Dairesel sıkıştırma, içleri ayrık olan bağlantılı bir çember koleksiyonudur (genel olarak herhangi bir Riemann yüzeyinde). Bir çember sıkıştırmasının kesişme çizgesi (grafı), her çember için bir tepe noktasına ve teğet olan her çember çifti için bir kenara sahip olan çizgedir. Çember sıkıştırma, düzlemde veya eşdeğer olarak küre üzerindeyse, kesişme çizgesine madeni para (coin) çizgesi denir; daha genel olarak, iç-ayrık geometrik nesnelerin kesişme çizgelerine, teğetlik çizgeleri veya temas çizgeleri denir. Madeni para çizgeleri her zaman bağlı, basit ve düzlemseldir. Çember sıkıştırma teoremi, bunların bir çizgenin madeni para çizgesi olması için tek gereklilik olduğunu belirtir:

Çember sıkıştırma teoremi: Bağlı her basit düzlemsel G çizgesi için, düzlemde kesişme çizgesinin G (ile eşbiçimli -izomorfik-) olan bir çember sıkıştırması vardır.

Benzersizlik

Bir maksimal düzlemsel çizge G, düzlemselliği korurken daha fazla kenarın eklenemeyeceği sonlu basit bir düzlemsel çizgedir. Böyle bir çizgenin, gömme işleminin her yüzünün (dış yüz dahil) bir üçgen olduğu her zaman benzersiz bir düzlemsel gömmesi vardır. Diğer bir deyişle, her bir maksimal düzlemsel çizge G, küreye homeomorfik olan basit bir kompleksin 1-iskeletidir. Çember sıkıştırma teoremi, kesişme çizgesi G'ye izomorfik olan sonlu sayıda çember ile sıkıştırılmış bir çemberin varlığını garanti eder. Aşağıdaki teoremin daha formal olarak belirttiği gibi, her maksimal düzlemsel çizge en fazla bir sıkıştırmaya sahip olabilir.

Koebe–Andreev–Thurston teoremi: G sonlu bir maksimal düzlemsel çizge ise, teğet çizgesi G’ye izomorfik olan çember sıkıştırması, Möbius dönüşümlerine ve doğrulardaki yansımalara kadar benzersizdir.

Thurston,[1] bu benzersizliğin Mostow rijitlik teoreminin bir sonucu olduğunu gözlemler. Bunu görmek için, G bir çember sıkıştırmasıyla temsil edilsin. Daha sonra çemberlerin sıkıştırıldığı düzlem, üç boyutlu hiperbolik uzay için bir yarı uzay modelinin sınırı olarak görülebilir; bu bakış açısıyla, her çember hiperbolik uzay içindeki bir düzlemin sınırıdır. Bu şekilde sıkıştırmanın çemberlerinden bir dizi ayrık düzlem ve sıkıştırma içindeki üç çemberin arasındaki her bir üçgen boşluğu çevreleyen çemberlerle tanımlanan ikinci bir ayrık düzlemler kümesi tanımlanabilir. Bu iki düzlem kümesinin dik açılarla kesişir ve temel alanı hiperbolik bir manifold olarak görülebilen bir yansıma grubunun jeneratörlerini oluşturur. Mostow rijitliği ile, bu alanın hiperbolik yapısı, hiperbolik uzayın izometrisine kadar benzersiz bir şekilde belirlenir; bu izometriler, yarı düzlem modelin sınırındaki Öklid düzlemindeki eylemleri açısından bakıldığında, Möbius dönüşümlerine çevrilir.

Maksimum prensibine ve üç karşılıklı teğet çemberin merkezlerini birbirine bağlayan üçgende, çemberlerden birinin merkezinde oluşan açı, yarıçapında azalan monoton, diğer iki yarıçapta artan monotondur ve aynı benzersizlik özelliğinin daha basit bir kanıtı da vardır. Aynı G çizgesi için iki sıkıştırma verildiğinde, bu iki sıkıştırmadaki dış çemberlerin birbirine karşılık gelmesi ve aynı yarıçaplara sahip olması için yansımalar ve Möbius dönüşümleri uygulanabilir. O halde v, iki sıkıştırmadaki çemberlerin olabildiğince birbirinden uzak boyutlara sahip olduğu bir G iç tepe noktası olsun: bu, v’nin iki sıkıştırmadaki çemberlerinin yarıçaplarının r1/r2 oranını maksimize etmek için seçilmesi demektir. G’nin v içeren her bir üçgen yüzü için, birinci sıkıştırmadaki v için çemberin merkezindeki açının, ikinci sıkıştırmadaki açıya eşit veya daha küçük olduğu izlenir; eşitlik yalnızca üçgeni oluşturan diğer iki daire iki sıkıştırmada aynı r1/r2 yarıçap oranına sahipken olur. Ancak, üçgenin merkezini çevreleyen tüm bu üçgenlerin açılarının toplamı, her iki sıkıştırmada da 2, olmalıdır, bu nedenle, v’ye komşu tüm köşeler, v’nin kendisiyle aynı orana sahip olmalıdır. Aynı argümanı diğer çemberlere sırayla uygulayarak, her iki sıkıştırmadaki tüm çemberlerin aynı orana sahip olduğu sonucu çıkar. Ancak dış çemberler oran 1 olacak şekilde dönüştürülmüştür, yani r1/r2 = 1 ve iki sıkıştırmada tüm çemberler için aynı yarıçaplara sahiptir.

Açıkorur dönüşüm (conformal mapping) teorisi ile ilişkiler

Çember sıkıştırmaları, belirtilen alanlar arasındaki uyumlu eşlemeleri yaklaşık olarak belirlemek için kullanılabilir. Soldaki her daire, sağdaki bir çembere karşılık gelir.

Düzlemdeki veya daha yüksek boyutlu bir uzaydaki iki açık küme arasındaki açıkorur dönüşüm, herhangi iki eğri arasındaki açıları koruyan bir kümeden diğerine sürekli bir fonksiyondur. 1851'de Bernhard Riemann tarafından formüle edilen Riemann dönüşüm teoremi, düzlemdeki herhangi iki açık topolojik disk için, bir diskten diğerine uyumlu bir dönüşüm olduğunu belirtir. Açıkorur dönüşümlerin ağ oluşturma, harita projeksiyonu ve diğer alanlarda uygulamaları vardır. Ancak, iki belirli alan arasında açık bir şekilde uyumlu bir dönüşüm oluşturmak her zaman kolay değildir.[2]

1985'teki Bieberbach konferansında William Thurston, açıkorur dönüşümlere yaklaşmak için çember sıkıştırmaların kullanılabileceğini varsaydı. Daha doğrusu, Thurston, rastgele bir açık disk A’dan bir çemberin içine doğru uyumlu bir dönüşüm bulmak için çember sıkıştırmaları kullandı; bir topolojik disk A’dan başka bir disk B’ye dönüşüm, dönüşümün A’dan bir çembere, dönüşümün tersi ile B’den bir çembere oluşturulmasıyla bulunabilir.[2]

Thurston'un fikri, bazı küçük r yarıçaplı çemberleri, A bölgesi içinde, A sınırına yakın dar bir bölge bırakarak, bu yarıçapın daha fazla çemberinin sığamayacağı r genişliğinde, düzlemin altıgen mozaiklemesine yerleştirmekti. Daha sonra, sıkıştırmanın sınırındaki tüm çemberlere bitişik bir ek tepe noktasıyla birlikte, çemberlerin kesişim çizgesinden maksimum düzlemsel bir G çizgesi oluşturur. Çember sıkıştırma teoremi ile, bu düzlemsel çizge, tüm kenarların (sınır tepe noktasına gelenler dahil) çemberlerin teğetleri ile temsil edildiği bir C çember sıkıştırmasıyla temsil edilebilir. A’nın sıkıştırmasındaki çemberler, A’nın sınırına karşılık gelen C’nin sınır çemberi dışında, C'deki çemberlere bire bir karşılık gelir. Çemberlerin bu uyuşması, A’dan C’ye, her çember ve üç çember arasındaki her boşluğun bir sıkıştırmadan diğerine bir Möbius dönüşümü ile eşlendiği sürekli bir fonksiyon oluşturmak için kullanılabilir. Thurston, r yarıçapı sıfıra yaklaştıkça sınırda, bu şekilde inşa edilen A’dan C’ye fonksiyonların Riemann dönüşüm teoremi tarafından verilen açıkorur fonksiyona yaklaşacağını varsaydı.[2]

Thurston'un varsayımı Rodin & Sullivan (1987) tarafından kanıtlanmıştır. Daha kesin olarak, n sonsuza giderken, Thurston'un yöntemi kullanılarak belirlenen fn fonksiyonunun yarıçap-1/n çemberlerin altıgen sıkıştırmalarından A’nın kompakt alt kümeleri üzerinde düzgün bir şekilde A’dan C’ye açıkorur bir dönüşüme yakınsadığını gösterdiler.[2]

Thurston varsayımının başarısına rağmen, bu yöntemin pratik uygulamaları, çember sıkıştırmalarının hesaplanmasının zorluğu ve nispeten yavaş yakınsama oranı nedeniyle engellenmiştir. Ancak, basit bir şekilde bağlanmamış alanlara uygulandığında ve çokgen alanların açıkorur dönüşüm için farklı bir teknik olan Schwarz-Christoffel dönüşümlerini hesaplayan sayısal teknikler için ilk yaklaşımları seçerken bazı avantajları vardır.[2]

İspatlar

Çember sıkıştırma teoreminin bilinen birçok kanıtı vardır. Paul Koebe'nin orijinal kanıtı, sonlu bağlanmış bir düzlemsel alanın uygun olarak bir çember alanına eşdeğer olduğunu söyleyen açıkorur tek tipleştirme teoremine dayanmaktadır. Bilinen birkaç farklı topolojik kanıt vardır. Thurston'un kanıtı, Brouwer'in sabit nokta teoremine dayanmaktadır. Yüksek lisans öğrencisi olarak Oded Schramm, Princeton Üniversitesi'nde Thurston tarafından denetlendi. Rohde (2011, s. 1628) şöyle anlatıyor: Schramm'ın çember paketleme için varoluşun sabit nokta teoreminden nasıl çıkarılabileceğine dair tezinde "şiirsel bir açıklama" var: "Korkunç canavarın saf bir öfke içinde kollarını salladığını, dokunaçların birbirlerine sürtünürken korkunç bir tıslama yarattığını görebiliriz." Ayrıca, Perron'un Dirichlet problemine çözüm üretme yönteminin ayrı bir varyantını kullanan bir kanıt da vardır.[3] Yves Colin de Verdière, belirli bir konfigürasyon uzayında bir dışbükey fonksiyonu en aza indiren çember sıkıştırmanın varlığını kanıtladı.[4]

Uygulamalar

Çember sıkıştırma teoremi, düzlemsel geometri, açıkorur dönüşümler ve düzlemsel çizgelerdeki çeşitli problemleri incelemek için yararlı bir araçtır. İlk olarak Lipton ve Tarjan[5] 'dan kaynaklanan düzlemsel ayırıcı teoreminin zarif bir kanıtı bu şekilde elde edilmiştir.[6] Çember sıkıştırma teoreminin bir başka uygulaması, sınırlı derece düzlemsel çizgelerin tarafsız sınırlarının neredeyse kesin olarak tekrarlanmasıdır.[7] Diğer uygulamalar kapsam süresi[8] için çıkarımlar ve sınırlı-cins çizgelerinin en büyük özdeğeri için tahminler içerir.[9]

Çizge çiziminde, sınırlı açısal çözünürlüğe[10] ve sınırlı eğim sayısına sahip düzlemsel çizgelerin çizimlerini bulmak için çember sıkıştırma kullanılmıştır.[11] Fáry teoremi, düzlemde kavisli kenarlar kullanılarak kesişme olmaksızın çizilebilen her çizgenin, düz çizgi parçası kenarları kullanılarak kesişmeler olmadan da çizilebileceğini, çember sıkıştırma teoreminin basit bir sonucunu izler: köşeleri çemberlerin merkezlerine yerleştirerek ve aralarında düz kenarlar çizilerek, düz bir düzlemsel gömme elde edilir.

Bir çokyüzlü ve orta küresi. Çember sıkıştırma teoremi, her çok yüzlü çizgenin orta küreye sahip bir çokyüzlünün çizgesi olarak temsil edilebileceğini ima eder.

Çember sıkıştırma teoreminin daha güçlü bir biçimi, herhangi birçok yüzlü çizgenin ve onun ikili çizgesinin, bir primal çizge kenarını temsil eden iki teğet çemberin ve aynı kenarın çiftini temsil eden iki teğet çemberin her zaman düzlemin aynı noktasında birbirlerine dik açılarda teğetlere sahip olacağı şekilde iki çember sıkıştırması ile temsil edilebileceğini ileri sürer. Bu tip bir sıkıştırma oluşturmak için kullanılabilecek bir dışbükey çok yüzlü, verilen çizgeyi temsil eder ve çok yüzlünün (polyhedron) tüm kenarlarına teğet bir küre olan orta küreye (midsphere) sahiptir. Tersine, birçok yüzlü bir orta küreye sahipse, kürenin çok yüzlü yüzlerle kesişmelerinden oluşan çemberler ve her çok yüzlü tepe noktasından bakıldığında küre üzerinde ufukların oluşturduğu çemberler bu tipte ikili bir sıkıştırma oluşturur.

Algoritmik yönler

Collins & Stephenson (2003), William Thurston'un fikirlerine dayalı olarak, çember sıkıştırmaları bulmak için sayısal bir gevşetme algoritması tanımladılar. Çözdükleri çember sıkıştırma probleminin versiyonu, tüm iç yüzlerin üçgen olduğu ve dış köşelerin pozitif sayılarla etiketlendiği bir düzlemsel çizgeyi girdi olarak alır. Çıktı olarak, teğetleri verilen çizgeyi temsil eden ve bunun için dış köşeleri temsil eden çemberlerin girdide belirtilen yarıçaplara sahip olduğu bir çember sıkıştırması üretir. Önerdikleri gibi, sorunun anahtarı önce sıkıştırmanın içindeki çemberlerin yarıçaplarını hesaplamaktır; Yarıçaplar bilindiğinde, çemberlerin geometrik konumlarının hesaplanması zor değildir. Geçerli bir sıkıştırmaya karşılık gelmeyen bir dizi geçici yarıçapla başlarlar ve ardından aşağıdaki adımları tekrar tekrar gerçekleştirirler:

  1. Giriş çizgesinin dahili bir v tepe noktasını seçin.
  2. Komşular geçici yarıçaplarını kullanarak birbirlerine ve merkez çembere teğet yerleştirilmiş olsaydı, k komşu çemberlerinin v için çemberin etrafını kaplayacağı toplam θ açısını hesaplayın.
  3. Komşu çemberler için temsili bir yarıçap r belirleyin, öyle ki r yarıçaplı k çemberler v'nin komşularının verdiği gibi aynı θ kaplama açısını verecektir.
  4. v için yeni yarıçapı, r yarıçaplı k çemberlerin tam olarak 2π'lik bir kaplama açısı vereceği değer olarak ayarlayın.

Bu adımların her biri, basit trigonometrik hesaplamalarla gerçekleştirilebilir. Collins ve Stephenson'un iddia ettiği gibi, yarıçaplar sistemi, tüm kaplama açılarının tam olarak 2π olduğu benzersiz bir sabit noktaya hızla yakınsar. Sistem birleştikten sonra, her bir ardışık çemberin merkezini belirlemek için iki komşu çemberin konumları ve yarıçapları kullanılarak her aşamada çemberler birer birer yerleştirilebilir.

Mohar (1993), çok yüzlü bir çizgenin eşzamanlı sıkıştırmalarını bulmak için benzer bir yinelemeli tekniği ve ikili çemberlerin primal çemberlere dik açılarda olduğu ikiliğini açıklar. Yöntemin, çember sayısında ve log1/ε türünden zaman polinomu aldığını kanıtladı; burada ε, hesaplanan sıkıştırmanın merkezlerinin ve yarıçaplarının optimum sıkıştırmada olanlardan uzaklığına bağlıdır.

Genellemeler

Çember sıkıştırma teoremi, düzlemsel olmayan çizgelere genelleştirir. G, bir yüzeye S gömülebilir bir çizgedir, daha sonra bir sabit olduğu kavisli Riemannsal metrik S ve bir çember sıkıştırması (S, d) kontak çizgesi G'ye izomorfiktir. S kapalıysa (kompakt ve sınırsız) ve G, S'nin üçgenlemesiyse (S, d) ve sıkıştırma, açıkorur eşdeğerliğe kadar benzersizdir. S küre ise, o zaman bu eşdeğerlik Möbius dönüşümlerine bağlıdır; bir simit (torus) ise, S cinsi en az 2 ise, eşdeğerlik bir sabit ve izometrilere göre ölçeklendirmeye kadardır, böylece eşdeğerlik izometrilere kadardır.

Çember sıkıştırma teoreminin başka bir genellemesi, teğet koşulunun, komşu köşelere karşılık gelen çemberler arasındaki belirli bir kesişme açısı ile değiştirilmesini içerir. Özellikle zarif bir versiyon aşağıdaki gibidir. G’nin sonlu 3 bağlantılı bir düzlemsel çizge (yani çok yüzlü bir çizge) olduğunu varsayalım, o zaman bir çift çember dolgusu vardır, bunlardan birinin kesişme çizgesi G’ye izomorfiktir, diğeri kesişme çizgesi G’nin düzlemsel çiftine izomorfiktir ve G’deki her tepe noktası ve ona bitişik yüz için, tepe noktasına karşılık gelen birinci sıkıştırmadaki çember, yüze karşılık gelen ikinci sıkıştırmadaki çember ile ortogonal olarak kesişir.[12] Örneğin, bu sonucun dört yüzlü çizgesine uygulanması, herhangi bir dört karşılıklı teğet çember için, her biri ilk dörtten üçüne ortogonal olan dört karşılıklı teğet çemberden oluşan ikinci bir set verir.[13] Kesişme açısını ters mesafe ile değiştiren başka bir genelleme, bazı çemberlerin kesişme veya teğet olmaktan ziyade birbirinden ayrılması gereken sıkıştırmaların spesifikasyonuna izin verir.[14]

Yine başka bir genelleme çeşidi, çember olmayan şekillere izin verir. Farz edin ki G = (VE) sonlu bir düzlemsel çizgedir ve G’nin her tepe noktası v, kapalı birim diske homeomorfik ve sınırı düzgün olan bir şekline karşılık gelir. Sonra düzlemde bir sıkıştırması vardır, öyle ki ancak ve ancak ve her bir için kümesi 'den çevirerek ve ölçeklendirerek elde edilir. (Orijinal çember sıkıştırma teoreminde, köşe başına üç gerçek parametre vardır, bunlardan ikisi karşılık gelen çemberin merkezini, biri yarıçapı tanımlamaktadır ve kenar başına bir denklem vardır. Bu aynı zamanda bu genellemede de geçerlidir.) Bu genellemenin bir kanıtı, Koebe'nin orijinal ispatı[15] ve Brandt[16] ve Harrington[17] teoreminin uygulanmasıyla elde edilebilir; bu teorem, herhangi bir sonlu bağlanmış alanın, dönüşümlere ve ölçeklemeye kadar sınır bileşenleri belirli şekillere sahip olan bir düzlemsel alana açıkorur eşdeğer olduğunu belirtir.

Tarihçe

Çember sıkıştırma teoremi ilk olarak Paul Koebe tarafından kanıtlandı.[15] William Thurston[1] çember sıkıştırma teoremini yeniden keşfetti ve EM Andreev'in çalışmasından izlediğini belirtti. Thurston ayrıca, düzlemin basitçe bağlanmış uygun bir alt kümesinin birim diskin iç kısmına bir homeomorfizmi elde etmek için daire paketleme teoremini kullanmak için bir şema önerdi. Çember Sıkıştırmaları için Thurston Varsayımı (Thurston Conjecture for Circle Packings), çemberlerin yarıçapları sıfıra yöneldikçe homeomorfizmin Riemann dönüşümüne yakınsayacağı varsayımıdır. Thurston Varsayımı daha sonra Burton Rodin ve Dennis Sullivan tarafından kanıtlandı.[18] Bu, çember sıkıştırma teoreminin uzantıları, açıkorur dönüşümlerle ilişkiler ve uygulamalar hakkında bir araştırma telaşına yol açtı.

Notlar

  1. ^ a b Thurston (1978–1981), Chap. 13.
  2. ^ a b c d e Stephenson (1999).
  3. ^ Beardon & Stephenson 1991, Carter & Rodin 1992
  4. ^ Colin de Verdière 1991
  5. ^ Lipton & Tarjan (1979)
  6. ^ Miller et al. (1997)
  7. ^ Benjamini & Schramm (2001)
  8. ^ Jonnason & Schramm (2000)
  9. ^ Kelner (2006)
  10. ^ Malitz & Papakostas (1994).
  11. ^ Keszegh, Pach & Pálvölgyi (2011).
  12. ^ Brightwell & Scheinerman (1993)
  13. ^ "An absolute property of four mutually tangent circles", Non-Euclidean geometries, Math. Appl. (N. Y.), 581, New York: Springer, 2006, ss. 109-114, doi:10.1007/0-387-29555-0_5 
  14. ^ "8.2 Inversive distance packings", Uniformizing dessins and Belyĭ maps via circle packing, Memoirs of the American Mathematical Society, 805, 2004, ss. 78-82, doi:10.1090/memo/0805 .
  15. ^ a b Koebe (1936)
  16. ^ Brandt (1980)
  17. ^ Harrington (1982)
  18. ^ Rodin & Sullivan (1987)

Konuyla ilgili yayınlar

Ayrıca bakınız

  • Apollon contası, üçgen boşlukların tekrar tekrar doldurulmasıyla oluşturulan sonsuz bir conta.
  • Çember sıkıştırma, belirli teğetler olmadan yoğun çember düzenlemeleri
  • Doyle spiralleri, sonsuz 6 düzenli düzlemsel çizgeleri temsil eden çember sıkıştırmaları
  • Ford çemberleri, rasyonel sayı doğrusu boyunca çemberler yığını
  • Penny çizgesi, dairelerinin tümü eşit yarıçaplara sahip olan madeni para çizgeleri
  • Halka lemması, bir ambalajdaki bitişik çemberlerin boyutlarına bağlı

Dış bağlantılar

Kaynakça

İlgili Araştırma Makaleleri

<span class="mw-page-title-main">Grup teorisi</span> simetrileri inceleyen matematik dalı

Grup teorisi veya Grup kuramı, simetrileri inceleyen matematik dalıdır. Simetri kuramı olarak da adlandırılabilir. Bir nesnenin simetrileri ile kast edilen, nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümlerdir. Her nesnenin en az bir simetrisi vardır: hiçbir şey yapmadan olduğu gibi bırakma dönüşümü. Bahsettiğimiz dönüşümlerin tersleri de vardır ve aradığımız özellikleri sağlarlar. Son olarak da dönüşümlerin art arda yapılması, birleşimli bir işlemdir. Bu üç koşula sırasıyla birim elemana sahip olma, elemenların tersi olma ve grup işleminin birleşmeli olması denir. Bu kavramların matematikte soyutlanması, üzerinde tersinebilir ve bileşme özelliğine sahip ikili bir işlemin tanımlı olduğu kümeler ile yapılır. Daha detaylı açıklamak gerekirse, grup nesnesi bir küme G ve onun üzerinde tanımlı bir işleminden oluşur. Bu operasyonun aşağıdaki şartları sağlaması gereklidir:

<span class="mw-page-title-main">Açıkorur gönderim</span>

Matematikte açıkorur gönderim ya da açıkorur dönüşüm tanımlı olduğu kümenin her noktasında yerel olarak açıları koruyan bir fonksiyona verilen addır. Bu tanımı haliyle, açıkorur gönderimlerin her zaman uzunlukları koruması ya da yönleri koruması beklenmez.

<span class="mw-page-title-main">Dört yüzlü</span>

Geometride tetrahedron veya dört yüzlü, dört üçgen yüzden oluşan bir çokyüzlüdür (polihedron), her köşesinde üç üçgen birleşir. Düzgün dört yüzlü dört üçgenin eşkenar olduğu bir dört yüzlüdür ve Platonik cisimlerden biridir. Dörtyüzlü, dört yüzü olan tek konveks çokyüzlüdür. Tetrahedron isminin sıfat hali "tetrahedral"dır.

<span class="mw-page-title-main">Çevrel çember</span>

Çevrel çember, geometride, bir çokgenin tüm köşelerinden geçen çember. Bu çemberin merkezi çevrel özek olarak isimlendirilir.

<span class="mw-page-title-main">Barbier teoremi</span>

Geometride, Barbier teoremi, kesin şekli ne olursa olsun, sabit genişliğe sahip her eğrinin çevresinin, genişliğinin π katı olduğunu belirtir. Bu teorem, ilk olarak Joseph-Émile Barbier tarafından 1860'ta yayınlandı.

<span class="mw-page-title-main">Brianchon teoremi</span>

Geometride Brianchon teoremi, bir konik kesit etrafındaki bir altıgen ile sınırlandırıldığında, ana köşegenlerinin tek bir noktada kesiştiğini belirten bir teoremdir. Adını Fransız matematikçi Charles Julien Brianchon'dan (1783–1864) almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Bézout teoremi</span> aciklama

Bézout teoremi, cebirsel geometride n değişkenli n polinomun ortak sıfırlarının sayısı ile ilgili bir ifadedir. Orijinal biçiminde teorem, genel olarak ortak sıfırların sayısının, polinomların derecelerinin çarpımına eşit olduğunu belirtir. Adını Fransız matematikçi Étienne Bézout'dan almıştır.

Geometride Descartes teoremi, her dört öpüşen veya karşılıklı teğet çember için, çemberlerin yarıçaplarının belirli bir ikinci dereceden denklemi sağladığını belirtir. Bu denklemi çözerek, verilen üç karşılıklı teğet çembere teğet olan dördüncü bir çember oluşturulabilir. Teorem adını, 1643'te teoremi tanımlayan René Descartes'tan almıştır.

<span class="mw-page-title-main">Batlamyus eşitsizliği</span>

Öklid geometrisinde, Batlamyus eşitsizliği, düzlemde veya daha yüksek boyutlu bir uzayda dört nokta tarafından oluşturulan altı uzunluğu ilişkilendirir. Herhangi bir A, B, C ve D noktası için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu belirtir:

.

Geometride demet teoremi; en basit durumda, gerçek Öklid düzlemindeki altı çember ve sekiz nokta üzerine bir ifadedir. Genel olarak, sadece oval Möbius düzlemleri tarafından meydana getirilen bir Möbius düzleminin bir özelliğidir. Demet teoremi Miquel teoremi ile karıştırılmamalıdır.

<span class="mw-page-title-main">Commandino teoremi</span>

Adını İtalyan matematikçi Federico Commandino (1509-1575)'dan alan Commandino teoremi, bir dört yüzlünün dört kenarortayının, onları oranında bölen bir noktasında kesiştiğini belirtir. Bir dört yüzlüde kenarortay, tepe noktasını karşı yüzün ağırlık merkeziyle, yani karşı üçgenin ağırlık merkeziyle birleştiren bir doğru parçasıdır. noktası aynı zamanda dört yüzlünün (tetrahedron) ağırlık merkezidir.

Bu sayfa teoremlerin bir listesidir. Ayrıca bakınız:

Leonhard Euler'in temel dörtgen geometrisindeki birçok sonucundan biri, iç içe uzanan iki belirli çember için Öklid düzleminde, hem daha büyük çemberin kirişler dörtgeni hem de daha küçük olana teğet olan bir teğetler dörtgeni olan bir dışbükey dörtgen bulunması problemiyle ilgilidir. Euler bunun için, dairenin merkezi ile bir düzlem üçgenin merkezi arasındaki mesafeye ilişkin teoremindekiyle yakından ilişkili olan bir denklem buldu. Denklemin ilk yayınlanmış sunumu ve türetilmesi, Euler'in sekreteri Nikolaus Fuß tarafından 1798'de sağlandı.

<span class="mw-page-title-main">Çift merkezli dörtgen</span>

Öklid geometrisinde, bir çift merkezli dörtgen, hem bir iç teğet çembere hem de çevrel çembere sahip olan bir dışbükey (konveks) dörtgendir. Bu çemberlerin çevreleri, yarıçapları ve merkezlerine sırasıyla iç çap (inradius) ve çevrel çap (circumradius), iç merkez (incenter) ve çevrel merkez (circumcenter) denir. Tanımdan, çift merkezli dörtgenlerin hem teğetler dörtgeninin hem de kirişler dörtgeninin tüm özelliklerine sahip olduğu anlaşılmaktadır. Bu dörtgenler için diğer isimler kiriş-teğet dörtgeni ve iç teğet ve dış teğet dörtgenidir. Ayrıca nadiren çift çemberli dörtgen ve çift işaretlenmiş dörtgen olarak adlandırılmıştır.

<span class="mw-page-title-main">John Casey (matematikçi)</span>

John Casey saygın bir İrlandalı geometricidir. Batlamyus teoreminin bir uzantısı olan diğer dört çembere teğet olan bir çember üzerindeki Casey teoremi ile ünlüdür. Bununla birlikte, Öklid geometrisi üzerine birkaç yeni kanıt ve perspektifle katkıda bulundu. Emile Lemoine ile birlikte, çemberin ve üçgenin modern geometrisinin kurucu ortakları olarak kabul edilir.

<span class="mw-page-title-main">Çevre açı</span>

Geometride, çevre açı, çember üzerinde iki sekant (kesen) çizgisi kesiştiğinde bir çember üzerinde oluşan açıdır. Çember üzerindeki bir nokta ile çember üzerinde verilen diğer iki noktanın oluşturduğu açı olarak da tanımlanabilir.

<span class="mw-page-title-main">Kesişen kirişler teoremi</span>

Kesişen kirişler teoremi veya sadece kiriş teoremi, bir çember içinde kesişen iki kiriş tarafından oluşturulan dört doğru parçasının ilişkisini tanımlayan temel geometrideki bir ifadedir. Her bir kirişteki doğru parçalarının uzunluklarının çarpımlarının eşit olduğunu belirtir. Öklid'in Unsurlarının 3. kitabının 35. önermesidir.

Dışbükey bir kirişler çokgeni, herhangi bir şekilde üçgenlere ayrıldığında ve bu şekilde oluşturulan her üçgene bir iç teğet çember çizildiğinde Japon teoremi, bu üçgenlerin iç teğet çemberlerinin yarıçapları toplamının, seçilen üçgenlemeden bağımsız bir şekilde sabit olduğunu belirtir. Bu teorem, Carnot teoremi kullanılarak kanıtlanabilir. Japon matematikçilerin eski bir geleneğine göre, bu teorem 1800'de tanrıları ve yazarı onurlandırmak için bir Japon tapınağına asılan tabletlere yazılmış bir Sangaku problemiydi.

Geometride, Jung teoremi, herhangi bir Öklid uzayındaki bir dizi noktanın çapı ile bu kümenin minimum çevreleyen topunun yarıçapı arasındaki bir eşitsizliktir. Bu eşitsizliği ilk kez 1901'de inceleyen Heinrich Jung'un adını almıştır. En küçük çember problemini açık bir biçimde çözmek için algoritmalar da mevcuttur.

<span class="mw-page-title-main">Kirişler dörtgeni</span> tüm köşeleri tek bir çember üzerinde yer alan dörtgen

Öklid geometrisinde, bir kirişler dörtgeni veya çembersel dörtgen veya çevrimsel dörtgen, köşeleri tek bir çember üzerinde bulunan bir dörtgendir. Bu çembere çevrel çember denir ve köşelerin aynı çember içinde olduğu söylenir. Çemberin merkezi ve yarıçapı sırasıyla çevrel merkez ve çevrel yarıçap olarak adlandırılır. Bu dörtgenler için kullanılan diğer isimler eş çember dörtgeni ve kordal dörtgendir, ikincisi, dörtgenin kenarları çemberin kirişleri olduğu içindir. Genellikle dörtgenin dışbükey (konveks) olduğu varsayılır, ancak çapraz çevrimsel dörtgenler de vardır. Aşağıda verilen formüller ve özellikler dışbükey durumda geçerlidir.