Çarpık-simetrik matris

Matematik ve özellikle doğrusal cebirde, bir çarpık-simetrik (veya antisimetrik veya antimetrik^[1]) matris, transpozu aynı zamanda olumsuzu olan bir kare matristir; yani $-A=A^{T}$ durumunu sağlar. Eğer $i$ satırı ve $j$ sütunundaki giriş $a_{ij}$ ise, çarpık-simetrik matris $a_{ij}=-a_{ji}$ ilişkisine sahiptir. Örneğin, aşağıdaki matris çarpık-simetriktir:

{\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}.

Özellikler

İki çarpık-simetrik matrisin toplamı yine çarpık-simetriktir.
Bir sabitle çarpılan çarpık-simetrik matris yine çarpık-simetriktir.
Çarpık-simetrik matrisin köşegeni üzerindeki elemanlar sıfırdır, dolayısıyla ilkköşegen toplamı da sıfırdır.
Eğer çarpık-simetrik matris $A$ 'nın elemanları gerçel sayılarsa (yani $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ ), $\det(A)\geq 0$ 'dır.
Eğer çarpık-simetrik matris $A$ gerçelse ve $\lambda$ gerçel bir özdeğer (eigen değer) ise, $\lambda =0$ 'dır.
Bir gerçel çarpık-simetrik matrisin ( $A$ ) birim matrisle ( $I$ ) toplamı $I+A$ tersinirdir.

Çapraz çarpım

3x3'lük çarpık-simetrik matrisler kullanılarak çapraz çarpım matris çarpımı olarak ifade edilebilir. $\mathbf {a} =(a_{1}\ a_{2}\ a_{3})^{\mathrm {T} }$ ve $\mathbf {b} =(b_{1}\ b_{2}\ b_{3})^{\mathrm {T} }$ 3 boyutlu vektörler olsun. Çarpık-simetrik matris

[\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}

kullanılarak çapraz çarpım yeniden yazılabilir:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b}

Ayrıca bakınız

Simetrik matris
Çarpık-Hermisyen matris
Simplektik matris

Kaynakça

^ Richard A. Reyment, K. G. Jöreskog, Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. s. 68. ISBN 0-521-57556-7.

Daha fazla bilgi

Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8.
Suprunenko, D. A. (2001), "Skew-symmetric matrix", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu Bilinmeyen parametre |urlname= görmezden gelindi (yardım)
Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes.

Dış bağlantılar

"Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld. 7 Temmuz 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014.
Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK - Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems". 18 Mart 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014.
Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3). s. 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran23 Ocak 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Fortran9030 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

İlgili Araştırma Makaleleri

Matematik, fizik ve mühendislikte, Öklid vektörü veya kısaca vektör sayısal büyüklüğü ve yönü olan geometrik bir objedir. Vektör, genellikle bir doğru parçası ile özdeşleştirilir. Bir başlangıç noktası A ile bir uç noktası B'yi birleştiren bir ok şeklinde görselleştirilir ve $\text{[math]}$ ile belirtilir.

<span class="mw-page-title-main">Matris (matematik)</span>

Matematikte matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu veya daha genel bir açıklamayla, toplanabilir veya çarpılabilir soyut miktarlar tablosudur. Dizeyler daha çok doğrusal denklemleri tanımlamak, doğrusal dönüşümlerde çarpanların takibi ve iki parametreye bağlı verilerin kaydedilmesi amacıyla kullanılırlar. Dizeylerin toplanabilir, çıkartılabilir, çarpılabilir, bölünebilir ve ayrıştırılabilir olmaları, doğrusal cebir ve dizey kuramının temel kavramı olmalarını sağlamıştır.

Matematikte karmaşık sayı, bir gerçel bir de sanal kısımdan oluşan bir nesnedir. a ve b sayıları gerçek olursa karmaşık sayılar şu biçimde gösterilirler:

\text{[math]}

Matematikte, dördeyler, karmaşık sayıları bir gerçel, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

<span class="mw-page-title-main">Öteleme</span> Fizik terimi

Öklid geometrisinde bir öteleme, belli bir yönde sabit bir uzaklık kadar yer değiştirme demektir. Eşölçer dönüşümlerden biridir. Ötelemenin bir diğer yorumu, her noktaya sabit bir vektör eklemek veya koordinat sistemini kaydırmaktır. Bir öteleme operatörü $\text{[math]}$ şöyle tanımlanır: $\text{[math]}$

<span class="mw-page-title-main">Kovaryans matrisi</span>

İstatistik'te, kovaryans matrisi, rassal vektörlerin elemanları arasındaki kovaryansları içeren matristir. Kovaryans matrisi, skaler-değerli rassal değişkenler için var olan varyans kavramının çok boyutlu durumlara genelleştirilmesidir.

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır.

Doğrusal cebirde, transpozu kendisine eşit olan matrislere simetrik matris denir. A bir simetrik matris olsun. Bu durumda:

\text{[math]}

Doğrusal cebirde, bir A dizeyinin tersçaprazı (transpose) A^T şeklinde ifade edilir. Bir dizeyin tersçaprazı aşağıdaki şekillerde elde edilebilir:

A dizeyinin ilkköşegene göre yansıması alınarak A^T elde edilir,
A dizeyinin satırları A^T dizeyinin sütünları olarak yazınca elde edilir,
veya A dizeyinin sütünları A^T dizeyinin satırları olarak yazılınca elde edilir.

Fizikte, Lorentz dönüşümü adını Hollandalı fizikçi Hendrik Lorentz'den almıştır. Lorentz ve diğerlerinin referans çerçevesinden bağımsız ışık hızının nasıl gözlemleneceğini açıklama ve elektromanyetizma yasalarının simetrisini anlama girişimlerinin sonucudur. Lorentz dönüşümü, özel görelilik ile uyum içerisindedir. Ancak özel görelilikten daha önce ortaya atılmıştır.

Doğrusal cebirde sütun vektör veya sütun matris, m × 1 matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;

\text{[math]}

Doğrusal cebirde, kare matris, satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir. n ye n lik bir matris, boyutu n olan bir kare matris olarak bilinir. Aynı boyuta sahip herhangi iki matriste, toplama ve çarpma işlemleri yapılabilir.

Doğrusal cebirde, satır vektör veya satır matris, 1 × m matrisidir. Örneğin; tek bir m sütunundan oluşan bir matris şöyle ifade edilir;

\text{[math]}

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.

Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris toplamı, iki matrisin ilgili girişlerinin eklenmesi işlemidir. Matrisler için diğer bir toplama işlemi türü doğrudan toplamdır.

Successive Over-Relaxation (SOR) lineer denklem sistemlerini çözmek ve sonuca daha hızlı yakınsamak için sayısal lineer cebirde kullanılan bir çeşit Gauss-Seidel metodudur. Daha yavaş yakınsamalar içinse benzer bir metot olan iterative metot kullanılır.

Matematikte, Hesse matrisi bir skaler değerli fonksiyonun ya da skaler alanın ikinci-dereceden kısmi türevlerinden oluşan kare matristir. Çok değişkenli bir fonksiyonun yerel eğriliğini ifade eder. Hesse matrisi, 19. yüzyılda Alman matematikçi Otto Hesse tarafından bulunmuştur ve ismini bu kişiden alır. Hesse'nin ilk kullandığı terim fonksiyonel determinantlardır.

Vektör hesabında, Jacobi matrisi bir vektör-değerli fonksiyonun bütün birinci-derece kısmi türevlerini içeren matristir. Bu matris bir kare matris olduğunda, yani fonksiyonun girdi sayısı çıktı sayısının vektör bileşenleriyle aynı sayıdaysa, bu matrisin determinantı Jacobi determinantı olarak adlandırılır. Literatürde sıklıkla Jacobi olarak anılır.

<span class="mw-page-title-main">Birim matris</span> asal köşegendeki sayıları bir, diğer sayıları sıfır olan kare matris

Lineer cebirde, n boyutlu birim matris, ana köşegeni birlerden ve diğer elemanları sıfırlardan oluşan n × n boyutlu bir kare matristir. I_n ya da sadece I ile gösterilir. Kuantum mekaniği gibi bazı alanlarda, birim matris kalın bir rakamı 1 ile de gösterilir. Nadiren, bazı kitaplarda İngilizce ve Almanca kelimelerin baş harfleri olan U ya da E ile gösterildiği olur.

\text{[math]}

Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı ya da eigen ayrışımı, bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.

Bu sayfa, bu Vikipedi makalesine dayanmaktadır.
Metin, CC BY-SA 4.0 lisansı altında mevcuttur; ek koşullar uygulanabilir.
Görseller, videolar ve sesler kendi lisansları altında mevcuttur.