Càdlàg

Matematikte, bir càdlàg fonksiyon (Fr. continue à droite, limite à gauche), gerçek sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlı ve bu tanım kümesinin her noktasında sağdan sürekli, soldan limitli olan bir fonksiyondur. Cadlàg fonksiyonlar, özellikle sıçramaları olan stokastik süreçlerin incelenmesinde önemlidir. Bir tanım kümesi üzerindeki càdlàg fonksiyonların kümesine Skorokhod uzayı denir.

Càdlàg terimine benzeyen iki terim vardır. Bunlardan ilki olan càglàd (Fr. continue à gauche, limite à droite) fonksiyonda sol ve sağ yer değiştirmiştir. Yani, càglàd soldan sürekli, sağdan limitlidir. İkinci terim ise càllàl (Fr. continue à l'un, limite à l’autre) fonksiyondur. Bu terim kapsamında yön belirtilmeden bir taraftan sürekli diğer taraftan limitli fonksiyonlar tanımlanmıştır.

${\displaystyle (M,d)}$ bir metrik uzay ve ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$ olsun. ${\displaystyle f:E\to M}$ fonksiyonuna aşağıdaki özellikleri sağlarsa càdlàg fonksiyon denir. Her ${\displaystyle t\in E}$ için,

• ${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\to t^{-}}f(s)}$ vardır;
• ${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\to t^{+}}f(s)}$ vardır ve ${\displaystyle f(t)}$'ye eşittir.

Diğer deyişle, ${\displaystyle f}$ fonksiyonu tanım kümesindeki her noktada sağdan sürekli soldan limitlidir.

• Gerçel sayılar ya da bunların alt kümelerinde tanımlı sürekli fonksiyonların hepsi càdlàg fonksiyondur.
• Tanımları gereği, bütün kümülatif dağılım fonksiyonları càdlàg fonksiyondur.
• Bir açık aralıkta tanımlanan her dışbükey fonksiyonun sağdan türevi artan bir càdlàg fonksiyondur.

${\displaystyle E}$'den ${\displaystyle M}$'ye tanımlı tüm càdlàg fonksiyonlarının kümesi genellikle ${\displaystyle \mathbb {D} (E:M)}$ (veya sadece ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ile) gösterilir ve bu kümeye Ukraynalı matematikçi Anatoliy Skorokhod'a atfen Skorokhod uzayı adı verilir. Skorokhod uzayına, sezgisel olarak "uzay ve zamanı biraz oynatmamıza" izin veren bir topoloji atanabilir (oysa ki düzgün yakınsamanın geleneksel topolojisi yalnızca "uzayı biraz oynatmamıza" izin verir).^[1] Basitleştirmek için mesela ${\displaystyle E=[0,T]}$ ve ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ alalım.^[2]

İlk önce süreklilik modülüne karşılığı olan bir ${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}$ tanımlamamız gerekecek. Herhangi bir ${\displaystyle F\subseteq E}$ için,

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

kümesini tanımlayalım. Her ${\displaystyle \delta >0}$ içinse, càdlàg modülünü

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

şeklinde tanımlayalım. Burada infimum ${\displaystyle \min _{i}(t_{i}-t_{i+1})>\delta }$ ve ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ olacak şekilde tanımlanan bütün ${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\}}$ parçalanışları üzerinden tanımlanmaktadır. Süreksiz fonksiyonlar için tanımlanan süreklilik modülü ne kadar makul ise, buradaki tanım da càdlàg olmayan fonksiyonlar için en azından o kadar makuldur. O zaman, ${\displaystyle f}$ càdlàg fonksiyondur ancak ve ancak ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\varpi '_{f}(\delta )=0}$.

${\displaystyle E}$ üzerinden yine ${\displaystyle E}$'ye tanımlı, kesin artan, sürekli, birebir örten fonksiyonların kümesi ${\displaystyle \Lambda }$ olsun (bunlar "zaman içindeki kıpırdanmalar" olacak). ${\displaystyle E}$ üzerinde tanımlı fonksiyonlar için

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

düzgün normunu tanımlayalım. Bu tanımlar ışığında, eğer ${\displaystyle I:E\to E}$ özdeşlik (birim) fonksiyonu ise, ${\displaystyle f,g\in \mathbb {D} }$ için

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

Skorokhod metriğini tanımlar. "Kıpırdama" sezgisi açısından konuşacak olursak, ${\displaystyle \|\lambda -I\|}$ "zamandaki kıpırdamanın" boyutunu ölçer, ${\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}$ ise "uzaydaki kıpırdamanın" büyüklüğünü ölçer.

Skorokhod metriği gerçekten bir metriktir. ${\displaystyle \sigma }$ tarafından üretilen ${\displaystyle \Sigma }$ topolojisine ${\displaystyle \mathbb {D} }$'deki Skorokhod topolojisi adı verilir.

${\displaystyle E}$ üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların uzayı olan ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle \mathbb {D} }$'nin bir altuzayıdır. Skorokhod topolojisi, ${\displaystyle C}$'ye göre düşünülürse, o zaman oradaki düzgün topolojilerle aynıdır.

${\displaystyle \mathbb {D} }$, Skorokhod metriği ${\displaystyle \sigma }$ altında tam uzay değildir. Yine de, ${\displaystyle \mathbb {D} }$'yi tam yapacak ve topolojik olarak denk bir ${\displaystyle \sigma _{0}}$ metriği vardır.^[2]

Hem ${\displaystyle \sigma _{0}}$ hem de ${\displaystyle \sigma }$ açısından, ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ayrılabilir bir uzaydır. Bu yüzden, Skorokhod uzayı Polish uzaydır.

Arzelà-Ascoli teoreminin bir uygulaması aracılığıyla, Skorokhod uzayı ${\displaystyle \mathbb {D} }$ üzerindeki bir olasılık ölçüsü dizisi ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1,2,\dots }}$ ancak ve ancak aşağıdaki şu koşullar sağlanırsa sıkıdır.

1. ${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in \mathbb {D} \;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0\quad \forall \varepsilon >0.}$

Skorokhod topolojisi ve fonksiyonların noktasal toplanması altında ${\displaystyle \mathbb {D} }$ az sonra verilecek örnekte görülebileceği gibi topolojik bir grup değildir. Gerçekten de, ${\displaystyle E=[0,2)}$ olsun ve ${\displaystyle f_{n}=\chi _{[1-1/n,2)}\in \mathbb {D} }$ de bir karakteristik fonksiyonlar dizisi olsun. Skorokhod topolojisinde ${\displaystyle f_{n}\rightarrow \chi _{[1,2)}}$ olmasına rağmen, ${\displaystyle f_{n}-\chi _{[1,2)}}$ dizisi 0'a yakınsamaz.

• Klasik Wiener uzayı